Mathematik: Topologie: Basen topologischer Räume

Topologien bestehen meist aus sehr vielen, möglicherweise kompliziert aussehenden offenen Mengen. Dies liegt daran, dass beliebige Vereinigungen offener Mengen wieder offen sein müssen. So gibt es beispielsweise in ${ℝ}^2$ komplizierte offene Mengen, doch alle lassen sich als Vereinigung von Bällen darstellen. Dies führt uns zum Konzept der Basis eines topologischen Raums. Später werden wir sehen, dass es für gewisse Eigenschaften ausreicht, sie auf einer Basis nachzuweisen.

Beispiele

Der Begriff der Basis lässt sich auch anders charakterisieren:

Subbasen

Jedes Mengensystem, auch wenn es keine Basis ist, erzeugt eine minimale Topologie, die das Mengensystem erhält. Man erhält eine Basis dieser Topologie, indem man alle möglichen endlichen Schnitte von Mengen des Mengensystems bildet. Betrachte das Mengensystem $\{\{1,2\},\{2,3\}\}$. Durch bilden aller Durchschnitte erhält man $\{\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$ (die Menge $\{1,2,3\}$ erhält man als Schnitt über die leere (also endliche) Familie von Mengen). Dies ist bereits eine Topologie.