Mathematik: Analysis: Konvergenz von Folgen

Einleitung

Gegeben sei eine Folge ${\left(a_k\right)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ in einem metrischen Raum $(X,d)$. Bei Folgen sollte man die geschweiften Mengenklammern gerade nicht verwenden, sondern runde Klammern. ${\left(a_k\right)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ heißt konvergent gegen den Grenzwert $a$, wenn $\mathrm{\forall }\epsilon >0$ $\mathrm{\exists }{k}_0\in \mathbb{N}:\mathrm{\forall }k>k_0$ gilt: $d(a_k,a)<\epsilon$.

Eine Folge mit dem Grenzwert $a=0$ nennt man eine Nullfolge.

Cauchyfolgen

Eine Folge ${\left(a_k\right)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ in einem metrischen Raum $(X,d)$ heißt Cauchy-Folge, wenn $\mathrm{\forall }\epsilon >0$ $\mathrm{\exists }{k}_0\in \mathbb{N}:\mathrm{\forall }{k}_1,k_2>k_0$ gilt: $d(a_{k_1},a_{k_2})<\epsilon$.

Vollständigkeit

Ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert, heißt vollständig.

Beispiel: Der Raum der reellen Zahlen ist vollständig. Der Raum der rationalen Zahlen hingegen nicht. Betrachtet man z.B. die Folge ${\left(a_n\right)}_n$ mit $a_n={(1+\frac{1}{n})}^n$, so ist offensichtlich jedes Folgenglied in $\mathbb{Q}$. Der Grenzwert ist jedoch $e\in ℝ\mathrm{\setminus }\mathbb{Q}$ mit der eulerschen Zahl e.