Analysis: Metrik und Topologie: Topologische Räume

Ein paar Grundlagen der Topologie werden es uns erlauben, bestimmte Sachverhalte aus der Analysis in einem allgemeineren Rahmen zu formulieren.

Topologische Räume

Definition: Sei $X$ eine beliebige Menge und $𝒯\subseteq 𝔓(X)$ eine Menge von Teilmengen von $X$. Das Tupel $(X,𝒯)$ heißt topologischer Raum mit der Topologie $𝒯$, wenn gilt:

(enthält die leere Menge und den ganzen Raum)		$\mathrm{\varnothing },X\in 𝒯$
Abgeschlossenheit unter beliebiger Vereinigung:	$\mathrm{\forall }ℳ\subseteq 𝒯$	$\bigcup ℳ\in 𝒯$
Abgeschlossenheit unter endlicher Durchschnittsbildung:	$\mathrm{\forall }A,B\in 𝒯$	$A\cap B\in 𝒯$

Die Elemente von $𝒯$ heißen offene Mengen und ihre Komplemente abgeschlossene Mengen. Jedes $A\subseteq X$, das $x\in X$ enthält, heißt Umgebung von $x$.

Abgeschlossene Mengen

Offensichtlich hat die Menge $𝒜:=\{A\subset X:X\setminus A\in 𝒯\}$ der abgeschlossenen Mengen die zur Definition dualen Eigenschaften:

(enthält die leere Menge und den ganzen Raum)		$\mathrm{\varnothing },X\in 𝒜$
Abgeschlossenheit unter beliebiger Durchschnittsbildung:	$\mathrm{\forall }ℳ\subseteq 𝒜$	$\bigcap ℳ\in 𝒜$
Abgeschlossenheit unter endlicher Vereinigung:	$\mathrm{\forall }A,B\in 𝒜$	$A\cup B\in 𝒜$

Hausdorff-Räume

Definition: Ein topologischer Raum, in dem zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten immer disjunkte offene Umgebungen existieren, heißt Hausdorff-Raum. In einem Hausdorff-Raum $(X,𝒯)$ gilt also: $\mathrm{\forall }x,y\in X\mathrm{\exists }U,V\in 𝒯(U\cap V=\mathrm{\varnothing }\wedge x\in U\wedge y\in V)$.

Beispiele

Zu einer beliebigen Menge $X$ gibt es immer die diskrete Topologie $𝔓(X)$, in der jede Menge zugleich offen und abgeschlossen ist, und die indiskrete Topologie $\{\mathrm{\varnothing },X\}$, in der keine Menge außer der leeren und dem ganzen Raum offen oder abgeschlossen ist. Mit ersterer bildet $X$ einen Hausdorff-Raum, mit zweiterer nicht (sofern $X$ mindestens zwei Elemente besitzt).