Mathematik: Analysis: Differentialgleichungen: homogene Differentialgleichungen

Beispiele für das Lösen von Differentialgleichungen mit getrennten Variablen

erstes Beispiel

$y^{\prime }=\frac{x^2}{y^2}$ Anfangswertbedingung: $y(3)=3$.

Bei diesem Beispiel kann man die Lösung schon mit der Methode "Scharf Hinsehen" erkennen. Trotzdem werden wir sie jetzt berechnen.

$f(x)=x^{2}g(y)=\frac{1}{y^2}$

$F(x)=\underset{3}{\overset{x}{\int }}{t}^{2}dt={\left[\frac{1}{3}{t}^3\right]}_3^x=\frac{1}{3}{x}^3-9$

$G(y)=\underset{3}{\overset{y}{\int }}{t}^{2}dt={\left[\frac{1}{3}{t}^3\right]}_3^y=\frac{1}{3}{y}^3-9$

$G(h(x))=F(x)$

$\Rightarrow \frac{1}{3}(h(x){)}^3-9=\frac{1}{3}{x}^3-9$

$\Rightarrow h(x)=x$

Schauen wir, ob wir die gesuchte Gleichung gefunden haben und setzen $h(x)$ für $y$ ein.

$h^{\prime }(x)=1=\frac{x^2}{x^2}=\frac{x^2}{h(x{)}^2}$

Das stimmt. Und was ist mit der Anfangsbedingung?

$h(3)=3$

Das ist auch richtig. Wir haben also eine richtige Lösung gefunden.