Beweisarchiv: Arithmetik: Lösungen von Gleichungen: Gleichungen höheren Grades mit einer Variablen: Quadratische Gleichungen

Behauptung

Seien $a,b,c$ komplexe Zahlen und $a\ne 0$.

Dann hat die quadratischen Gleichung

     $a{x}^2+bx+c=0$

genau zwei Lösungen (bzw. eine im Fall $b^2-4ac=0$), und zwar:

     $x_{1/2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Beweis (angelehnt an den Satz von Vieta)

Es gilt

$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}+(-b-\sqrt{b^2-4a})}{2a}=-\frac{b}{a}$

und

$x_1\cdot x_2$	$=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})\cdot (-b-\sqrt{b^2-4ac})}{(2a{)}^2}$
	$=\frac{(-b{)}^2-(\sqrt{b^2-4ac}{)}^2}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}.$

(Bei der zweiten Rechnung wurde die dritte binomische Formel verwendet.)

Nun betrachten wir das Polynom

$a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2).$

Ausmultiplizieren liefert

$a{x}^2-a(x_1+x_2)x+a{x}_1{x}_2,$

und setzt man die oben ausgerechneten Ausdrücke für $x_1+x_2$ sowie $x_1{x}_2$ ein, erhält man

$a{x}^2-a\cdot \left(-\frac{b}{a}\right)\cdot x+a\cdot \frac{c}{a}=a{x}^2+bx+c,$

also die linke Seite der quadratischen Gleichung.

Zusammengefasst:

$a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).$

Soll nun die linke Seite null sein, so muss auch die rechte null sein. Ein Produkt ist aber genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist. $a$ ist nach Voraussetzung ungleich null, also ist $x$ genau dann eine Lösung der quadratischen Gleichung, wenn

$x-x_1=0$ oder $x-x_2=0,$

oder umgeformt

$x=x_1$ oder $x=x_2$

gilt.

Also sind $x_1$ und $x_2$ Lösungen der quadratischen Gleichung, und es gibt keine weiteren.

Beweis (durch quadratische Ergänzung)

Multipliziert man die quadratische Gleichung mit $4a$, so erhält man die Gleichung

$4a^2{x}^2+4abx+4ac=0,$

die man zu

$(2ax{)}^2+2\cdot (2ax)\cdot b+4ac=0$

umformen kann. Die ersten beiden Terme sehen aus wie das Ergebnis der binomischen Formel für

$(2ax+b{)}^2,$

es fehlt also nur das $b^2$, das man durch Addition und anschließende Subtraktion ergänzen kann:

$(2ax{)}^2+2\cdot (2ax)\cdot b+b^2-b^2+4ac=0$

Wendet man nun die binomische Formel an und bringt die letzten beiden Terme der linken auf die rechte Seite, erhält man

$(2ax+b{)}^2=b^2-4ac,$

Wurzelziehen liefert

$2a{x}_{1/2}+b=\pm \sqrt{b^2-4ac},$

und Auflösen nach $x$ (durch Subtraktion von $b$ und anschließender Division durch $2a$) ergibt schließlich

$x_{1/2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Beweis (unter Verwendung des Satzes von Vieta)

Dividiert man die quadratische Gleichung durch $a$, erhält man

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.$

Nach dem Satz von Vieta gilt für die zwei Lösungen

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

und

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}.$

Die Idee besteht nun darin, den linearen Ausdruck $x_1-x_2$, aus dem man zusammen mit $x_1+x_2$ die beiden Lösungen leicht ausrechnen kann, mit $x_1+x_2$ und $x_1{x}_2$ in Beziehung zu setzen. Da diese beiden Terme symmetrisch in $x_1$ und $x_2$ sind, quadrieren wir $x_1-x_2$, um ebenfalls einen symmetrischen Ausdruck, nämlich

$(x_1-x_2{)}^2=x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2$

zu erhalten. Die Terme $x_1^2$ und $x_2^2$ kann man in

$(x_1+x_2{)}^2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2$

wiederfinden, es verbleibt als Differenz $-4x_1{x}_2$, d. h.

$(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2.$

Mit den Vieta-Formeln ergibt sich also

$(x_1-x_2{)}^2=\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}=\frac{b^2-4ac}{a^2}$

und folglich

$x_1-x_2=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$

(Wählt man das andere Vorzeichen für die Wurzel, so vertauscht sich lediglich die Numerierung von $x_1$ und $x_2$.)

Zusammen mit der Vieta-Formel für $x_1+x_2$ bildet diese Gleichung nun ein lineares Gleichungssystem, aus dem folgt:

$x_{1/2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$