Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen: Die allgemeine Lucas-Folge

Einleitung

Hier geht es um die beiden allgemeinen Lucas-Folgen $U_{n} (P, Q)$ und $V_{n} (P, Q)$ , die abhängig von den Parametern $P$ und $Q$ definiert sind als Folgen mit den Anfangswerten

U_{0} = 0, U_{1} = 1

und

V_{0} = 2, V_{1} = P

und der Rekursionsformel

U_{n} = P U_{n - 1} - Q U_{n - 2}

für

n > 1

(entsprechend für

V_{n}

).

Die Lucas-Folgen sind nach dem französischen Mathematiker Edouard Lucas benannt, der sich als erster mit ihnen beschäftigt hat.

Explizite Formeln

Vorbereitung

Die allgemeine Lucas-Folge hat zum einen mit quadratischen Gleichungen zu tun, und andererseits ist es zum Verständnis von Vorteil, ableiten (Differentialrechnung) zu können.

Für die expliziten Formeln werden die beiden Lösungen $a$ und $b$ der quadratischen Gleichung $x^{2} - P x + Q = 0$ benötigt. Sie sind

a = \frac{P}{2} + \sqrt{\frac{P^{2}}{4} - Q} = \frac{P + \sqrt{P^{2} - 4 Q}}{2}

und

b = \frac{P}{2} - \sqrt{\frac{P^{2}}{4} - Q} = \frac{P - \sqrt{P^{2} - 4 Q}}{2}

Die Parameter $P$ und $Q$ und die Werte $a$ und $b$ sind von einander abhängig. Es gilt umgekehrt:

P = a + b, Q = a \cdot b .

(Satzgruppe von Vieta)

Die Formeln für a und b lassen sich, in bezug auf die Potenzen auch verallgemeinern:

a^{n} = \frac{V_{n} + U_{n} \sqrt{P^{2} - 4 Q}}{2}

b^{n} = \frac{V_{n} - U_{n} \sqrt{P^{2} - 4 Q}}{2}

Die allgemeinen Lucas-Folgen

Falls $P^{2} - 4 Q \neq 0$ gilt, oder äquivalent dazu: falls die Zahlen $a$ und $b$ verschieden sind, so berechnet sich das Glied der allgemeinen Lucas-Folge $U_{n} (P, Q)$ nach folgender Formel:

U_{n} (P, Q) = \frac{a^{n} - b^{n}}{a - b}

für alle $n \geq 0$ . Im Spezialfall $P^{2} - 4 Q = 0$ gilt stattdessen

U_{n} (P, Q) = n a^{n - 1} = n {(\frac{P}{2})}^{n - 1} .

Das Glied der allgemeinen Lucas-Folge $V_{n} (P, Q)$ berechnet sich nach folgender Formel:

V_{n} (P, Q) = a^{n} + b^{n}

für alle $n \geq 0$

Wenn man die ganze Folge meint, und nicht nur das einzelne Glied der Folge, dann läßt sich dieses so ausdrücken:

U (P, Q) = (U_{n} (P, Q))_{n \geq 1}

bzw.

V (P, Q) = (V_{n} (P, Q))_{n \geq 1}

U₀, U₁ und V₀ sind definiert

$U_{0} (P, Q), U_{1} (P, Q)$ und $V_{0} (P, Q)$ hängen nicht von $a$ und $b$ , und damit auch nicht von $P$ und $Q$ , ab.

U_{0} = \frac{a^{0} - b^{0}}{a - b} = \frac{1 - 1}{a - b} = \frac{0}{a - b} = 0

U_{1} = \frac{a^{1} - b^{1}}{a - b} = \frac{a - b}{a - b} = \frac{1}{1} = 1

V_{0} = a^{0} + b^{0} = 1 + 1 = 2

$V_{1} (P, Q)$ nimmt den Wert von $P$ an, da nach der Satzgruppe von Vieta gilt $P = a + b$ :

V_{1} = a^{1} + b^{1} = a + b = P

Beziehungen zwischen den Folgegliedern

Es gibt viele Beziehungen zwischen den Gliedern der allgemeinen Lucas-Folgen $U (P, Q)$ und $V (P, Q)$ . Da die Fibonacci-Folge, und auch die Lucas-Folge (2, 1, 3, 4, 7, ...) Teil der allgemeinen Lucas-Folge sind, gelten diese Beziehungen auch für diese beiden Folgen. Gleiches trifft auch auf die Pell-Folge und ihre Companion-Folge zu.

Da man bei diesen Beziehungen davon ausgehen kann, dass die Parameter $P$ und $Q$ für alle Glieder der Folgen identisch sind, lässt man sie weg. Statt $V (P, Q)_{2 n} = V (P, Q)_{n}^{2} - 2 Q^{n}$ reicht es aus $V_{2 n} = V_{n}^{2} - 2 Q^{n}$ zu schreiben.

$U_{2 n} = U_{n} \cdot V_{n}$
$V_{n} = U_{n + 1} - Q U_{n - 1}$
$V_{2 n} = V_{n}^{2} - 2 Q^{n}$
$ggT (U_{m}, U_{n}) = U_{ggT (m, n)}$
$m ∣ n ⟹ U_{m} ∣ U_{n}$ ; für alle $U_{m} \neq 1$

_{Quelle: Ein großer Teil dieses Kapitels stammt aus dem Artikel Lucas-Folgen von der deutschsprachigen de.wikipedia.org.}