Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen

Summe ersten natürlichen Zahlen (Gaußsche Summenformel)

$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

Summe ersten ungeraden Zahlen

$\sum _{k=1}^n(2k-1)=n^2$

Summe der ersten Quadratzahlen

$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Euler-Maclaurinsche Summenformel

Sind $a,b$ ganze Zahlen, so dass $a<b$ ist, und ist $f:[a,b]\to ℝ$ eine $n$-mal stetig differenzierbare Funktion, so gilt

$\sum _{a<k\le b}f(k)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(-1{)}^{k+1}{B}_{k+1}}{(k+1)!}(f^{(k)}(b)-f^{(k)}(a))+\frac{(-1{)}^{n-1}}{n!}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{B}_n(x)f^{(n)}(x)dx$.

Hierbei steht $B_k(x)$ für das $k$-te periodische Bernoulli-Polynom und $B_k$ für die $k$-te Bernoulli-Zahl.

[Umformung der Potenzsumme]

$\sum _{k=1}^n{k}^p=\sum _{k=0}^{n}k!(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})\left\{\begin{array}{c}p\\ k\end{array}\right\}p\in ℂ$

Faulhabersche Formel

$\sum _{k=1}^n{k}^p=\frac{1}{p+1}\sum _{k=0}^p(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{p+1}{k})B_k{n}^{p+1-k}p\in {\mathbb{Z}}^{\ge 0}$

Verallgemeinerte faulhabersche Formel

$\sum _{k=1}^n{k}^p=\zeta (-p)+\frac{1}{p+1}\sum _{k=0}^m(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{p+1}{k})B_k{n}^{p+1-k}+o(n^{p+1-m})p\in ℂ\setminus \{-1\}$

[Harmonische Zahlen]

$H_n=\gamma +\log n-\sum _{k=1}^m\frac{B_k}{k}\frac{1}{n^k}+o(n^{-m})$

[Bernoulli-Zahlen]

$B_n=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k+1}k!\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}$

Partialsummen der geometrischen Reihe

$\sum _{k=0}^n{z}^k=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}$ für $|z|<1$, sonst divergent

Korollar zu den Partialsummen der geometrischen Reihe

$\sum _{k=a}^{b-1}{k}^m{z}^k=\left(z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{)}^m\right(\frac{z^b-z^a}{z-1})(z\ne 1)$

Binomischer Lehrsatz

$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{y}^k$

1. Korollar zum Binomischem Lehrsatz

$\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=2^n$

2. Korollar zum Binomischem Lehrsatz

$\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=0$

3. Korollar zum Binomischem Lehrsatz

$\sum _{k=0}^{n}k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=n\cdot 2^{n-1}$

Leibniz-Regel

$(fg{)}^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)$

[Wert der Beta-Funktion]

$\frac{n!}{z(z+1)\cdots (z+n)}=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{1}{k+z}$

Iterierter Differenzenoperator

Steht $\mathrm{\Delta }$ für den Differenzenoperator, definiert durch $\mathrm{\Delta }f(x)=f(x)-f(x-1)$,

so gilt ${\mathrm{\Delta }}^{n}f(x)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f(x-k)$.

Eulersche Identität

$\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(x-k{)}^n=n!n\in \mathbb{N},x\in ℝ$

[Summe der cos(kx)]

$\sum _{k=0}^n\cos (kx)=\frac{\sin \left(\frac{n+1}{2}x\right)\cos \left(\frac{n}{2}x\right)}{\sin \frac{x}{2}}$

[Summe der sin(kx)]

$\sum _{k=0}^n\sin (kx)=\frac{\sin \left(\frac{n+1}{2}x\right)\sin \left(\frac{n}{2}x\right)}{\sin \frac{x}{2}}$

[Iterierter Operator (x d/dx) auf binomischen Lehrsatz]

$\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k^m{x}^k=\sum _{k=0}^m\left\{\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right\}\frac{n!}{(n-k)!}{x}^k(1+x{)}^{n-k}$

[Korollar zur letzten Formel]

$\sum _{k=0}^m\left\{\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right\}\frac{n!}{(n-k)!}=n^m$

[Geometrische Reihe mit Stirling-Zahlen, iterierter Operator (x d/dx)]

$\sum _{k=0}^n\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}{k}^m{x}^k=\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}){\varphi }_{m-k}(-x){\varphi }_{n+k}(x){\varphi }_n(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^n}{k!}\frac{x^k}{e^x}$

Rekursionsformel für die geraden Werte der Zeta-Funktion

$\sum _{k=1}^{n-1}\zeta (2k)\zeta (2n-2k)=\frac{2n+1}{2}\zeta (2n)$ für $n\in {\mathbb{Z}}^{\ge 2}$

[Potenzen von Kotangens, Summe über spezielle Stellen]

$\sum _{k=1}^n{\cot }^2\left(\frac{k\pi }{2n+1}\right)=\frac{2n(2n-1)}{6}$

$\sum _{k=1}^n{\cot }^4\left(\frac{k\pi }{2n+1}\right)=\frac{2n(2n-1)}{6}\frac{4n^2+10n-9}{15}$

$\sum _{k=1}^n{\cot }^6\left(\frac{k\pi }{2n+1}\right)=\frac{2n(2n-1)}{6}\frac{32n^4+112n^3+8n^2-252n+135}{315}$

$\sum _{k=1}^n{\cot }^8\left(\frac{k\pi }{2n+1}\right)=\frac{2n(2n-1)}{6}\frac{192n^6+864n^5+496n^4-2248n^3-1388n^2+3834n-1575}{4725}$

Verallgemeinerte Gauß-Summe

$\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{i\pi \frac{m{k}^2+\ell k}{n}}=e^{-i\pi \frac{{\ell }^2}{4nm}}\sqrt{i\frac{n}{m}}\sum _{k=0}^{m-1}{e}^{-i\pi \frac{n{k}^2+\ell k}{m}}mn+\ell$ gerade

Landsberg-Schaar Relation

$\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{i\pi k^2\frac{m}{n}}=\sqrt{i\frac{n}{m}}\sum _{k=0}^{m-1}{e}^{-i\pi k^2\frac{n}{m}}m$ oder $n$ gerade

$\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{i\pi k^2\frac{m}{n}}=1=\sum _{k=0}^{m-1}{e}^{i\pi k^2\frac{n}{m}}m$ und $n$ ungerade

Gauß-Summe

$\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{\frac{2\pi i}{n}{k}^2}=\sqrt{\frac{in}{2}}(1+e^{-i\pi \frac{n}{2}})$

[Kosekansquadrate, Summe über spezielle Stellen]

$\sum _{k=0}^{n-1}{\csc }^2\left(\frac{z+k\pi }{n}\right)=n^2{\csc }^{2}z$

[Tangensquadrate, Summe über spezielle Stellen]

$\sum _{k=0}^{n-1}{\tan }^2\left(\frac{(2k+1)\pi }{4n}\right)=n\cdot (2n-1)$

[Kosekans, alternierende Summe über spezielle Stellen]

$\sum _{k=0}^{n-1}(-1{)}^k\csc (\frac{2k+1}{2n+1}\cdot \frac{\pi }{2})=n+\frac{1-(-1{)}^n}{2}$

Partielle Summation

$\sum _{k=m}^n{a}_k\mathrm{\Delta }{b}_k=[a_k{b}_k{]}_m^{n+1}-\sum _{k=m}^n\mathrm{\Delta }{a}_k{b}_{k+1}$

[Summe von abgerundeten Quadratwurzeln]

$\sum _{k=1}^n\lfloor \sqrt{k}\rfloor =n\cdot N-\frac{N\cdot (N-1)\cdot (2N+5)}{6},N:=\lfloor \sqrt{n}\rfloor$

[Sinus, Summe über spezielle Stellen]

$\sum _{k=0}^{n-1}\sin \frac{(2\lfloor \sqrt{kn}\rfloor +1)\pi }{2n}=\csc \left(\frac{\pi }{2n}\right)$

Korollar zur Harmonischen Reihe

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{1}{k}$