Primzahlen: Ic. Kapitel: Der kleine Fermat

In Kapitel I. Eigenschaften wurde der kleine fermatsche Satz $a^n-a\equiv 0(\mathrm{mod}n)$ aufgeführt, dass also $a^n-a$ durch $n$ teilbar ist, wenn $n$ eine Primzahl ist. Man kann $a^p-a$, mit ihrer Eigenschaft, durch die Primzahl $p$ teilbar zu sein, immer wieder mal antreffen. Im weiteren wird $a^p-a$ als $a^p-a^1$ dargestellt.

Der kleine Fermat und die allgemeinen Lucas-Folge V(P,Q) = aⁿ + bⁿ

Für alle Lucas-Folgen $V_n(P,Q)=a^n+b^n$ mit $P>0$ und $Q=\pm 1$ gilt, dass $(V_n(P,Q)-P)$ durch $n$ teilbar ist, wenn $n$ eine Primzahl ist. Oder anders ausgedrückt:

$V_n(P,Q)\equiv P(\mathrm{mod}n)$ für alle $n$, die Primzahlen sind.

Es trifft nun zu, dass $V_1(P,Q)$ immer $P$ ist. Demzufolge lässt sich auch schreiben: Wenn $n$ eine Primzahl ist, dann gilt, dass $V_n(P,Q)-V_1(P,Q)$ durch $n$ teilbar ist. Das sieht dem kleinen fermatschen Satz ziemlich ähnlich. Und in der Tat ist der Spezialfall: $V_n(A+1,A)-V_1(A+1,A)$ mit $A\ge 1$ identisch mit dem kleinen fermatschen Satz $a^n-a^1$.