Ing Mathematik: Lineare Dgl n-ter Ordnung

Lineare Dgln. n-ter Ordnung sind gegeben durch

$y^{(n)}(x)+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+a_{n-2}(x)y^{(n-2)}(x)+\dots +a_0(x)y(x)=g(x)$.

Wichtig sind in der Technik vor allem lineare Dgln. mit konstanten Koeffizienten, die wir anschließend behandeln:

$y^{(n)}(x)+a_{n-1}{y}^{(n-1)}(x)+a_{n-2}{y}^{(n-2)}+\dots +a_{0}y(x)=g(x)$.

Homogene Dgl.

$y^{(n)}(x)+a_{n-1}{y}^{(n-1)}(x)+a_{n-2}{y}^{(n-2)}+\dots +a_{0}y(x)=0$

Ansatz: $y(x)={\text{e}}^{\lambda x}$

Beispiel: $y^{″}-9y=0$

Ansatz: $y(x)={\text{e}}^{\lambda x};y^{\prime }=\lambda {\text{e}}^{\lambda x};y^{″}={\lambda }^2{\text{e}}^{\lambda x}$

$({\lambda }^2-9){\text{e}}^{\lambda x}=0$

Damit dies gilt, muss ${\lambda }^2-9=0$ sein. Diese Gleichung heißt auch charakteristische Gleichung.

${\lambda }_{1,2}=\pm 3$

$y=C_1{\text{e}}^{3x}+C_2{\text{e}}^{-3x}$

Beispiel: Freie ungedämpfte Schwingungen führen auf die Gleichung $y^{″}+{\omega }^{2}y=0$

Ansatz wie oben: $y(x)={\text{e}}^{\lambda x};y^{\prime }=\lambda {\text{e}}^{\lambda x};y^{″}={\lambda }^2{\text{e}}^{\lambda x}$

$({\lambda }^2+{\omega }^2){\text{e}}^{\lambda x}=0$

${\lambda }_{1,2}=\pm i\omega$

$y=\stackrel{\frac{D_1+\frac{D_2}{i}}{2}}{\overbrace{C_1}}{\text{e}}^{i\omega x}+\stackrel{\frac{D_1-\frac{D_2}{i}}{2}}{\overbrace{C_2}}{\text{e}}^{-i\omega x}=D_1\cos (\omega x)+D_1\sin (\omega x)$

Beispiel: Freie gedämpfte Schwingungen $y^{″}+2\delta y^{\prime }+{\omega }^{2}y=0$

Es wird wieder der Exponentialansatz verwendet. Dies führt auf ${\lambda }^2+2\delta \lambda +{\omega }^2=0$

${\lambda }_{1,2}=-\delta \pm \sqrt{{\delta }^2-{\omega }^2}$

Fallunterscheidung:

• Kritische Dämpfung (aperiodischer Grenzfall): $\delta =\omega$
• Unterkritische Dämpfung (schwache Dämpfung) $\delta <\omega$
• Überkritische Dämpfung (starke Dämpfung) $\delta >\omega$

• 
  Schwache Dämpfung
• 
  Starke Dämpfung

Kritische Dämpfung: Wir haben eine zweifache Wurzel ${\lambda }_{1,2}=-\delta$

$y=C_1{\text{e}}^{-\delta x}+C_{2}x{\text{e}}^{-\delta x}$

Überkritische Dämpfung: ${\lambda }_{1,2}=-\delta \pm \sqrt{{\delta }^2-{\omega }^2}$

$y=C_1{\text{e}}^{-\delta x+\sqrt{{\delta }^2-{\omega }^2}x}+C_2{\text{e}}^{-\delta x-\sqrt{{\delta }^2-{\omega }^2}x}$

Unterkritische Dämpfung: ${\lambda }_{1,2}=-\delta \pm i\sqrt{{\omega }^2-{\delta }^2}$

$y=C_1{\text{e}}^{-\delta x+i\sqrt{{\omega }^2-{\delta }^2}x}+C_2{\text{e}}^{-\delta x-i\sqrt{{\omega }^2-{\delta }^2}x}={\text{e}}^{-\delta x}(D_1\cos \sqrt{{\omega }^2-{\delta }^2}x+D_2\sin \sqrt{{\omega }^2-{\delta }^2}x)$

Beispiel: $y^{‴}-y=0$

Der Exponentialansatz führt auf die charakteristische Gleichung ${\lambda }^3-1=0$

Die Wurzeln sind ${\lambda }_1=1$ (durch probieren)

$({\lambda }^3-1):(x-1)={\lambda }^2+\lambda +1\Rightarrow {\lambda }_{2,3}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$

Das führt nach ein bisschen herumrechnen auf

$y=C_1{\text{e}}^x+{\text{e}}^{-\frac{x}{2}}(C_2\cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)+C_3\sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right))$

Wronski-Determinante und Fundamentalsystem

Die Lösungen $y_{h1},y_{h2},\dots$ einer homogenen linearen Dgl. ergeben ein Fundamentalsystem, wenn die Wronski-Determinante ungleich null ist:

$W=\left|\begin{array}{cccc}{y}_{h1}& y_{h2}& \cdots & y_{hn}\\ y_{h^{\prime }1}& y_{h^{\prime }2}& \cdots & y_{h^{\prime }n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ y_{h1}^{(n-1)}& y_{h2}^{(n-1)}& \cdots & y_{hn}^{(n-1)}\end{array}\right|\ne 0$

Beispiel: Für die Dgl. $y^{″}-9y=0$ haben wir bereits die Lösung ermittelt. $y=C_1{\text{e}}^{3x}+C_2{\text{e}}^{-3x}$. Dass dies auch zulässig war, können wir mittels Wronski-Determinate zeigen:

$W=\left|\begin{array}{cc}{\text{e}}^{3x}& {\text{e}}^{-3x}\\ 3{\text{e}}^{3x}& -3{\text{e}}^{-3x}\end{array}\right|=-3{\text{e}}^{3x}{\text{e}}^{-3x}-3{\text{e}}^{3x}{\text{e}}^{-3x}=-6\ne 0$

Inhomogene Dgl.

Eine Lösung der inhomogenen Dgl. erhalten wir, wenn man zur homogenen Lösung noch eine partikuläre hinzufügt.

$y=y_h+y_p$

Die Bestimmung der homogenen Lösung haben wir im vorigen Kapitel umfassend behandelt. Zur Bestimmung der partikulären Lösung gibt es eine Reihe von Methoden:

• Variation der Konstanten (siehe z.B. Vorlage:W)
• Operatorenmethode
• Greensche Methode
• Ansatz vom Typ der rechten Seite

Operatorenmethode

Siehe z.B. Burg, Haf, Wille, Meister: Höhere Mathematik für Ingenieure, Band III; 5. Auflage, Springer, 2009, Seite 171ff.

Greensche Methode

Gegeben sei eine inhomogene Dgl.

$y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\dots +a_{0}y=g(x)$

Die greensche Methode (auch Grundlösungsverfahren genannt) geht vom homogenen Anfangswertproblem im Intervall $[a,b]$

$w^{(n)}+a_{n-1}{w}^{(n-1)}+\dots +a_{0}w=0$

AB.: $w(a)=w^{\prime }(a)=\dots =w^{(n-2)}(a)=0;w^{(n-1)}(a)=1$

aus.

Dann ist

$y_p(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}w(x-t+a)g(t)\mathrm{d}t$

eine partikuläre Lösung auf $[a,b]$. Zwecks Beweis siehe z.B. Burg, Haf, Wille, Meister: Höhere Mathematik für Ingenieure, Band III; 5. Auflage, Springer, 2009, Seite 177f.

Beispiel: $y^{″}-y=x$

Homogene Dgl. mit gegebenen Anfangsbedingungen: $w^{″}-w=0;w(1)=0,w^{\prime }(1)=1$

Lösung dieses Problems mit dem Exponentialansatz:

${\lambda }^2-1=0$

${\lambda }_{1,2}=\pm 1$

$w(x)=C_1{\mathrm{e}}^x+C_2{\mathrm{e}}^{-x}$

$w^{\prime }(x)=C_1{\mathrm{e}}^x-C_2{\mathrm{e}}^{-x}$

Berücksichtigung der Anfangswerte führt auf

$C_1\mathrm{e}+\frac{C_2}{\mathrm{e}}=0$

$C_1\mathrm{e}-\frac{C_2}{\mathrm{e}}=1$

$\Rightarrow C_1=\frac{1}{2\mathrm{e}};C_2=-\frac{\mathrm{e}}{2}$

und somit lautet die Lösung des homogenen Anfangswertproblems:

$w(x)=\frac{1}{2\mathrm{e}}{\mathrm{e}}^x-\frac{\mathrm{e}}{2}{\mathrm{e}}^{-x}$

Kommen wir nun zur partikulären Lösung, die sich aus dem oben angegebenen Integral berechnen lässt:

$y_p(x)=\underset{1}{\overset{x}{\int }}w(x-t+1)g(t)\mathrm{d}t=\underset{1}{\overset{x}{\int }}(\frac{1}{2\mathrm{e}}{\mathrm{e}}^{x-t+1}-\frac{\mathrm{e}}{2}{\mathrm{e}}^{-(x-t+1)})t\mathrm{d}t=\frac{{\mathrm{e}}^x}{2}\underset{1}{\overset{x}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t}t\mathrm{d}t-\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{2}\underset{1}{\overset{x}{\int }}{\mathrm{e}}^{t}t\mathrm{d}t$

Nach etwas elementarer Herumrechnerei und ggf. der Benutzung von Integraltafeln kommt man auf das Ergebnis

$y_p=-x$

Somit ist

$y=w+y_p=\frac{1}{2\mathrm{e}}{\mathrm{e}}^x-\frac{\mathrm{e}}{2}{\mathrm{e}}^{-x}-x$

Kontrolle mit dem CAS Maxima:

Ansatz vom Typ der rechten Seite

Beispiel: Erzwungene Schwingung mit schwacher Dämpfung $y^{″}+2\delta y^{\prime }+{\omega }^{2}y={\omega }^2{x}_0\cos (\mathrm{\Omega }x)$. Die Lösung für die homogene Funktion (freie gedämpfte Schwingung) haben wir schon berechnet:

$y_h={\text{e}}^{-\delta x}(D_1\cos \sqrt{{\omega }^2-{\delta }^2}x+D_2\sin \sqrt{{\omega }^2-{\delta }^2}x)$

Folgende Abkürzungen führen wir ein: $\eta =\frac{\mathrm{\Omega }}{\omega };D=\frac{\delta }{\omega }$.

$\frac{1}{{\omega }^2}{y}^{″}+\frac{2D}{\omega }{y}^{\prime }+y=x_0\cos (\mathrm{\Omega }x)$

Die partikuläre Lösung wollen wir mit einem Ansatz vom Typ der rechten Seite bestimmen.

$y_p=x_{0}V\cos (\mathrm{\Omega }x-\mathrm{\Psi })=x_{0}V(\cos \mathrm{\Omega }x\cos \mathrm{\Psi }+\sin \mathrm{\Omega }x\sin \mathrm{\Psi })$

${y_p}^{\prime }=x_{0}V\mathrm{\Omega }(-\sin \mathrm{\Omega }x\cos \mathrm{\Psi }+\cos \mathrm{\Omega }x\sin \mathrm{\Psi })$

${y_p}^{″}=x_{0}V{\mathrm{\Omega }}^2(-\cos \mathrm{\Omega }x\cos \mathrm{\Psi }-\sin \mathrm{\Omega }x\sin \mathrm{\Psi })$

Einsetzen führt auf

$\begin{array}{c}\cancel{x_0}V{\eta }^2(-\cos \mathrm{\Omega }x\cos \mathrm{\Psi }-\sin \mathrm{\Omega }x\sin \mathrm{\Psi })+2D\cancel{x_0}V\eta (-\sin \mathrm{\Omega }x\cos \mathrm{\Psi }+\cos \mathrm{\Omega }x\sin \mathrm{\Psi })+\cancel{x_0}V(\cos \mathrm{\Omega }x\cos \mathrm{\Psi }+\sin \mathrm{\Omega }x\sin \mathrm{\Psi })\\ =\cancel{x_0}\cos \mathrm{\Omega }x\end{array}$

Damit gilt

$V(-{\eta }^2\cos \mathrm{\Psi }+2D\eta \sin \mathrm{\Psi }+\cos \mathrm{\Psi })=1$

$-{\eta }^2\sin \mathrm{\Psi }-2D\eta \cos \mathrm{\Psi }+\sin \mathrm{\Psi }=0$

Somit ist die Phasenverschiebung $\mathrm{\Psi }$

$\tan \mathrm{\Psi }=\frac{2D\eta }{1-{\eta }^2}$

und die Vergrößerungsfunktion

$V=\frac{1}{\sqrt{(1-{\eta }^2{)}^2+4D^2{\eta }^2}}$

Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung lautet

$y(x)=y_h+y_p={\text{e}}^{-\delta x}(D_1\cos \sqrt{{\omega }^2-{\delta }^2}x+D_2\sin \sqrt{{\omega }^2-{\delta }^2}x)+x_{0}V\cos (\mathrm{\Omega }x-\mathrm{\Psi })$

Die partikuläre Lösung beschreibt den eingeschwungenen Zustand. $y_h$ klingt exponentiell ab.

Eliminationsverfahren

Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten lassen sich manchmal durch lineare Dgln. n-ter Ordnung abbilden.

Beispiel:

$\begin{array}{cc}{y_1}^{\prime }& =6y_1+y_2\\ {y_2}^{\prime }& =y_1+y_2\end{array}$

Eliminieren wir daraus $y_2$ und ${y_2}^{\prime }$.

$y_2={y_1}^{\prime }-6y_1;{y_2}^{\prime }={y_1}^{″}-6{y_1}^{\prime }$

$\stackrel{{y_2}^{\prime }}{\overbrace{{y_1}^{″}-6{y_1}^{\prime }}}=y_1+\stackrel{y_2}{\overbrace{{y_1}^{\prime }-6y_1}}$

${y_1}^{″}-7{y_1}^{\prime }+5y_1=0$

Diese Art von Dgl. kennen wir schon. Sie lässt sich mittels Exponentialansatz lösen.

${\lambda }^2-7\lambda +5=0$

${\lambda }_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{29}}{2}$

$y_1=C_1{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x};{y_1}^{\prime }=C_1{\lambda }_1{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{\lambda }_2{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x}$

Nun setzen wir das für $y_2$ ein:

$y_2={y_1}^{\prime }-6y_1=C_1{\lambda }_1{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{\lambda }_2{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x}-6(C_1{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x})$

$y_2=(C_1{\lambda }_1-6C_1)e^{{\lambda }_{1}x}+(C_2{\lambda }_2-6C_2)e^{{\lambda }_{2}x}$

Die Lösung ist somit

$𝐲(x)=\left[\begin{array}{c}{y}_1(x)\\ y_2(x)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{C}_1{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x}\\ ({\lambda }_1-6)C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+({\lambda }_2-6)C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}\end{array}\right]$

Potenzreihenansätze

Siehe vorerst z.B. Vorlage:W oder Burg, Haf, Wille, Meister: Höhere Mathematik für Ingenieure, Band III; 5. Auflage, Springer, 2009, Seite 225ff.

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