PCRT.I.D.04

PCRT.I.D

04 Zustandsänderungen des idealen Gases bei (T,V;N=const)

A Freie Energie

$$	$dF$	$=$	$-SdT-pdV$	$dF(T,V),S(T,V,N),p(T,V,N),dN=0$
$$	$S$	$=$	$nR\ln \left[{\left(\frac{T}{T_0}\right)}^{3/2}\left(\frac{V}{V_0}\right)\right]+S_0$	$S(T,V,N)$
$$	$S_0$	$=$	$+\frac{5}{2}nR$	$$
$$	$p$	$=$	$\frac{nRT}{V}$	$p(T,V,N)$
$$	$dF$	$=$	$-nR(+\frac{5}{2}+\ln \left[{\left(\frac{T}{T_0}\right)}^{3/2}\left(\frac{V}{V_0}\right)\right])dT-nRT\frac{dV}{V}$	$dF(T,V),dN=0$
$(01)$	$dF$	$=$	$-nRT\{(+\frac{5}{2}+\ln \left[{\left(\frac{T}{T_0}\right)}^{3/2}\left(\frac{V}{V_0}\right)\right])\frac{dT}{T}+\frac{dV}{V}\}$	$dF(T,V),dN=0$
$(02)$	${\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)}_{V,N}$	$=$	$-nR(+\frac{5}{2}+\ln \left[{\left(\frac{T}{T_0}\right)}^{3/2}\left(\frac{V}{V_0}\right)\right])=-S$	${\partial }_{T}F(T,V,N)=-S,S(T,V,N)$
$(03)$	${\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)}_{T,N}$	$=$	$-\frac{nRT}{V}=-p$	${\partial }_{V}F(T,V,N)=-p,p(T,V,N)$
$$	$\frac{\partial }{\partial V}\frac{\partial F}{\partial T}$	$=$	$-\frac{nR}{V}=-\frac{p}{T}$	${\partial }_V{\partial }_{T}F(T,V,N),p(T,V,N)$
$$	$\frac{\partial }{\partial T}\frac{\partial F}{\partial V}$	$=$	$-\frac{nR}{V}=-\frac{p}{T}$	${\partial }_T{\partial }_{V}F(T,V,N),p(T,V,N)$
$(04)$	$\frac{\partial }{\partial V}\frac{\partial F}{\partial T}$	$=$	$\frac{\partial }{\partial T}\frac{\partial F}{\partial V}$	${\partial }_V{\partial }_{T}F(T,V,N),{\partial }_T{\partial }_{V}F(T,V,N)$

B Freie Enthalpie

$$	$dG$	$=$	$-SdT+Vdp$	$dG(T,p),dN=0;(T,p,N):S,V$
$$	$dG$	$=$	$-[S-V\frac{\partial S}{\partial V}]dT+(0-V\frac{\partial p}{\partial V})dV$	$dG(T,V),dN=0;(T,V,N):S,p$
$$	$S$	$=$	$+nR\ln {\left(\frac{T}{T_0}\right)}^{3/2}+nR\ln \left(\frac{V}{V_0}\right)+\frac{5}{2}nR$	$S(T,V,N)$
$$	$-V\frac{\partial S}{\partial V}$	$=$	$-\frac{V}{V_0}\frac{\partial }{\partial (V/V_0)}[\frac{3}{2}nR\ln \left(\frac{T}{T_0}\right)+nR\ln \left(\frac{V}{V_0}\right)+\frac{5}{2}nR]$	${\partial }_{V}S(T,V,N)$
$(01)$	$-V\frac{\partial S}{\partial V}$	$=$	$-nR$	${\partial }_{V}S(T,V,N)$
$$	$p$	$=$	$\frac{nRT}{V}$	$p(T,V,N)$
$$	$-V\frac{\partial p}{\partial V}$	$=$	$-V(-\frac{nRT}{V^2})$	${\partial }_{V}p(T,V,N)$
$(02)$	$-V\frac{\partial p}{\partial V}$	$=$	$+\frac{nRT}{V}=+p$	${\partial }_{V}p(T,V,N),p(T,V,N)$
$(03)$	$dG$	$=$	$-(S-nR)dT-pdV$	$dG(T,V),dN=0;(T,V,N):S,p$
$(04)$	$dG$	$=$	$dF+nRdT$	$dG(F,T)$
$(05)$	$dG$	$=$	$-nR(+\frac{3}{2}+\ln \left[{\left(\frac{T}{T_0}\right)}^{3/2}\left(\frac{V}{V_0}\right)\right])dT-nRT\frac{dV}{V}$	$dG(T,V),dN=0$
$(06)$	$dG$	$=$	$-nRT\{(+\frac{3}{2}+\ln \left[{\left(\frac{T}{T_0}\right)}^{3/2}\left(\frac{V}{V_0}\right)\right])\frac{dT}{T}+\frac{dV}{V}\}$	$dG(T,V),dN=0$
$(07)$	${\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)}_{V,N}$	$=$	$-nR(+\frac{3}{2}+\ln \left[{\left(\frac{T}{T_0}\right)}^{3/2}\left(\frac{V}{V_0}\right)\right])=-(S-nR)$	${\partial }_{T}G(T,V,N)\ne -S,S(T,V,N)$
$(08)$	${\left(\frac{\partial G}{\partial V}\right)}_{T,N}$	$=$	$-\frac{nRT}{V}=-p$	${\partial }_{V}G(T,V,N),p(T,V,N)$
$$	$\frac{\partial }{\partial V}\frac{\partial G}{\partial T}$	$=$	$-\frac{nR}{V}=-\frac{p}{T}$	${\partial }_V{\partial }_{T}G(T,V,N),p(T,V,N)$
$$	$\frac{\partial }{\partial T}\frac{\partial G}{\partial V}$	$=$	$-\frac{nR}{V}=-\frac{p}{T}$	${\partial }_T{\partial }_{V}G(T,V,N),p(T,V,N)$
$(09)$	$\frac{\partial }{\partial V}\frac{\partial G}{\partial T}$	$=$	$\frac{\partial }{\partial T}\frac{\partial G}{\partial V}$	${\partial }_V{\partial }_{T}G(T,V,N),{\partial }_T{\partial }_{V}G(T,V,N)$

Übung a

Beim Übergang von der freien Energie $F(T,V,N)$ zur freien Enthalpie $G(T,p,N)$ wird $(V\to p)$ ersetzt. Wir berechnen $(S-V\partial S/\partial V)$ und $(p-V\partial p/\partial V)$ für ein ideales Gas im (T,V,N)-Koordinatensystem und nehmen dabei $\mu N=0$ an. Sind beide Ausdrücke zueinander proportional? Welche Ausdrücke sind zueinander proportional und was bedeutet das für $dG$ eines idealen Gases in den unabhängigen Variablen (T,V,N)?

C Innere Energie

$$	$dU$	$=$	$TdS-pdV$	$dU(S,V),T(S,V,N),p(S,V,N),dN=0$
$$	$dU$	$=$	$-(0-T\frac{\partial S}{\partial T})dT-[p-T\frac{\partial p}{\partial T}]dV$	$dU(T,V),S(T,V,N),p(T,V,N),dN=0$
$$	$S$	$=$	$+nR\ln {\left(\frac{T}{T_0}\right)}^{3/2}+nR\ln \left(\frac{V}{V_0}\right)$	$S(T,V,N)$
$$	$-T\frac{\partial S}{\partial T}$	$=$	$-\frac{T}{T_0}\frac{\partial }{\partial (T/T_0)}[\frac{3}{2}nR\ln \left(\frac{T}{T_0}\right)+nR\ln \left(\frac{V}{V_0}\right)]$	${\partial }_{T}S(T,V,N)$
$(01)$	$-T\frac{\partial S}{\partial T}$	$=$	$-\frac{3}{2}nR$	${\partial }_{T}S(T,V,N)$
$$	$p$	$=$	$\frac{nRT}{V}$	$p(T,V,N)$
$$	$-T\frac{\partial p}{\partial T}$	$=$	$-T\left(\frac{nR}{V}\right)$	${\partial }_{T}p(T,V,N)$
$(02)$	$-T\frac{\partial p}{\partial T}$	$=$	$-\frac{nRT}{V}=-p$	${\partial }_{T}p(T,V,N),p(T,V,N)$
$(03)$	$dU$	$=$	$\frac{3}{2}nRdT\equiv (S_0-nR)dT$	$dU(T)$
$(04)$	${\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{V,N}$	$=$	$\frac{3}{2}nR\equiv (S_0-nR)$	${\partial }_{T}U(T,V,N)$
$(05)$	${\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_{T,N}$	$=$	$0$	${\partial }_{V}U(T,V,N)\ne -p$
$(06)$	$\frac{\partial }{\partial V}\frac{\partial U}{\partial T}$	$=$	$\frac{\partial }{\partial T}\frac{\partial U}{\partial V}$	${\partial }_V{\partial }_{T}U(S,p,N),{\partial }_T{\partial }_{V}U(S,p,N)$

Übung a

Beim Übergang von der freien Energie $F(T,V,N)$ zur inneren Energie $U(S,V,N)$ wird $(T\to S)$ ersetzt. Wir berechnen $(S-T\partial S/\partial T)$ und $(p-T\partial p/\partial T)$ für ein ideales Gas im (T,V,N)-Koordinatensystem und nehmen dabei $\mu N=0$ an. Sind beide Ausdrücke zueinander proportional? Welche Ausdrücke sind zueinander proportional und was bedeutet das für $dU$ eines idealen Gases in den unabhängigen Variablen (T,V,N)?

D Enthalpie

$$	$dH$	$=$	$TdS+Vdp$	$dH(S,p),(S,p,N):T,V;dN=0$
$$	$dH$	$=$	$-(0-T\frac{\partial S}{\partial T}-V\frac{\partial S}{\partial V})dT-(0-T\frac{\partial p}{\partial T}-V\frac{\partial p}{\partial V})dV$	$dH(T,V),(T,V,N):S,p;dN=0$
$dU:(\text{C}.01)$	$-T\frac{\partial S}{\partial T}$	$=$	$-\frac{3}{2}nR$	${\partial }_{T}S(T,V,N)$
$dU:(\text{C}.02)$	$-T\frac{\partial p}{\partial T}$	$=$	$-\frac{nRT}{V}=-p$	${\partial }_{T}p(T,V,N),p(T,V,N)$
$dG:(\text{B}.01)$	$-V\frac{\partial S}{\partial V}$	$=$	$-nR$	${\partial }_{V}S(T,V,N)$
$dG:(\text{B}.02)$	$-V\frac{\partial p}{\partial V}$	$=$	$+\frac{nRT}{V}=+p$	${\partial }_{V}p(T,V,N),p(T,V,N)$
$$	$dH$	$=$	$-(-\frac{5}{2}nR)dT-(-p+p)dV$	$dH(T)$
$(01)$	$dH$	$=$	$+\frac{5}{2}nRdT\equiv S_{0}dT$	$dH(T)$
$(02)$	${\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)}_{V,N}$	$=$	$\frac{5}{2}nR\equiv S_0$	${\partial }_{T}H(T,V,N)$
$(03)$	${\left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)}_{T,N}$	$=$	$0$	${\partial }_{V}H(T,V,N)$
$(04)$	$\frac{\partial }{\partial V}\frac{\partial H}{\partial T}$	$=$	$\frac{\partial }{\partial T}\frac{\partial H}{\partial V}$	${\partial }_V{\partial }_{T}H(S,p,N),{\partial }_T{\partial }_{V}H(S,p,N)$

Übung a

Beim Übergang von der freien Energie $F(T,V,N)$ zur Enthalpie $H(S,p,N)$ wird $(V\to p)$ und $(T\to S)$ ersetzt. Wir berechnen $(S-T\partial S/\partial T-V\partial S/\partial V)$ und $(p-T\partial p/\partial T-V\partial p/\partial V)$ für ein ideales Gas im (T,V,N)-Koordinatensystem und nehmen dabei $\mu N=0$ an. Sind beide Ausdrücke zueinander proportional? Welche Ausdrücke sind zueinander proportional und was bedeutet das für $dH$ eines idealen Gases in den unabhängigen Variablen (T,V,N)?