Dirk Hünniger/jan

Sei $𝕂$ ein Körper.

Sei $V$ ein Vektorraum über $𝕂$.

$V$ habe die Dimension $n$

Sei $f:V\to V$ ein Endomorphismus

Sei $\{v_1,...,v_n\}$ eine Basis von $V$.

Sei $\{w_1,...,w_n\}$ eine weitere Basis von $V$.

Sei $\{e_1,...,e_n\}$ die kanonische Basis des ${𝕂}^{𝕟}$

Sei ${\mathrm{\Phi }}_v:{𝕂}^n\to V$ der durch

${\mathrm{\Phi }}_v(e_i)=v_i$ für $i\in \{1,...,n\}$ definierte Isomorphismus.

Analog sei ${\mathrm{\Phi }}_w$ für die Basis $\{w_1,...,w_n\}$ definiert.

Ferner gelte ${\mathrm{\Phi }}_w^{-1}f{\mathrm{\Phi }}_w={\mathrm{\Phi }}_v^{-1}f{\mathrm{\Phi }}_v$ für alle beliebigen Basen $\{v_1,...,v_n\}$ und $\{w_1,...,w_n\}$

Sei nun $i\in \{1..n\}$. Es gilt $f(v_i)\in V$. Da $\{v_1,...,v_n\}$ eine Basis von $V$ ist, gibt es für $j\in \{1,..n\}$ Konstanten ${\lambda }_{ij}$ mit:

$f(v_i)=\sum _{j=1}^n{\lambda }_{ij}{v}_j$

Analog gibt es Konstanten ${\mu }_{ij}$ mit

$f(w_i)=\sum _{j=1}^n{\mu }_{ij}{w}_j$

Es gilt:

$\begin{array}{ccccc}& & {\mathrm{\Phi }}_w^{-1}\left(f\left({\mathrm{\Phi }}_w\left(e_i\right)\right)\right)& =& {\mathrm{\Phi }}_v^{-1}\left(f\left({\mathrm{\Phi }}_v\left(e_i\right)\right)\right)\\ & \Rightarrow & {\mathrm{\Phi }}_w^{-1}\left(f\left(w_i\right)\right)& =& {\mathrm{\Phi }}_v^{-1}\left(f\left(v_i\right)\right)\\ & \Rightarrow & {\mathrm{\Phi }}_w^{-1}\left(\sum _{j=1}^n{\mu }_{ij}{w}_j\right)& =& {\mathrm{\Phi }}_v^{-1}\left(\sum _{j=1}^n{\lambda }_{ij}{v}_j\right)\\ & \Rightarrow & \sum _{j=1}^n{\mu }_{ij}{\mathrm{\Phi }}_w^{-1}\left(w_j\right)& =& \sum _{j=1}^n{\lambda }_{ij}{\mathrm{\Phi }}_v^{-1}\left(v_j\right)\\ & \Rightarrow & \sum _{j=1}^n{\mu }_{ij}{e}_j& =& \sum _{j=1}^n{\lambda }_{ij}{e}_j\end{array}$

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich ${\mu }_{ij}={\lambda }_{ij}\mathrm{\forall }i\in \{1..n\},j\in \{1..n\}$

Sei nun $\{w_1,..,w_n\}$ definiert durch $\begin{array}{cccc}{w}_1& :=& v_1+v_2,& \\ w_i& :=& v_i& \mathrm{\forall }i\in \{2..n\}\end{array}$

Dann gilt:

$\begin{array}{ccccc}f\left(w_1\right)& =& {\mu }_{11}{w}_1+{\mu }_{12}{w}_2& =& {\lambda }_{11}{w}_1+{\lambda }_{12}{w}_2={\lambda }_{11}(v_1+v_2)+{\lambda }_{12}{v}_2={\lambda }_{11}{v}_1+({\lambda }_{11}+{\lambda }_{12})v_2\\ f\left(w_1\right)& =& f(v_1+v_2)& =& f\left(v_1\right)+f\left(v_2\right)\\ & =& {\lambda }_{11}{v}_1+{\lambda }_{12}{v}_2+{\lambda }_{21}{v}_1+{\lambda }_{22}{v}_2& =& ({\lambda }_{11}+{\lambda }_{21})v_1+({\lambda }_{12}+{\lambda }_{22})v_2\end{array}$

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:

${\lambda }_{21}=0$ und ${\lambda }_{11}={\lambda }_{22}$.

Die Nebendiagonalelemente verschwinden also und auf der Diagonalen steht immer das selbe Element. Somit $f=\lambda {\mathrm{I}\mathrm{d}}_V$