Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Boolesche Ringe

Charakteristik 2 und Kommutativität

Voraussetzung

$R$ sei ein Ring und für jedes Element $x\in R$ gelte $x^2=x$.

(Hat $R$ zusätzlich auch ein Einselement, dann nennt man dies einen booleschen Ring.)

Behauptung

1. Für alle $x\in R$ gilt: $x+x=0$.
2. $R$ ist kommutativ.

Beweis

1. Sei $x\in R$ beliebig. Wir rechnen:

$x+x=(x+x)(x+x)=xx+xx+xx+xx=x+x+x+x$.

(Bei der ersten und dritten Gleichheit wird die Voraussetzung benutzt, bei der zweiten Gleichheit wird distributiv ausmultipliziert.) Zusammengefasst haben wir also die Gleichung

$x+x+x+x=x+x$.

Durch zweimaliges Subtrahieren von $x$ auf beiden Seiten ergibt sich die Behauptung.

2. Seien $x,y\in R$ beliebig. Wir müssen $xy=yx$ nachweisen, und dazu rechnen wir:

$x+y=(x+y)(x+y)=xx+xy+yx+yy=x+xy+yx+y$.

(Bei der ersten und dritten Gleichheit wird die Voraussetzung benutzt, bei der zweiten Gleichheit wird distributiv ausmultipliziert.) Zusammengefasst haben wir also die Gleichung

$x+xy+yx+y=x+y$.

Subtrahieren von $x$ und $y$ auf beiden Seiten ergibt

$xy+yx=0$, also $xy=-yx$.

Da aber nach Teil 1 jedes Element mit seinem additiven Inversen übereinstimmt, bedeutet dies $xy=yx$.

Wikipedia-Verweise

boolescher Ring - Charakteristik - Ringtheorie