Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Sehnentangentenwinkel

Sehnentangentenwinkelsatz

Der Sehnentangentenwinkel eines Kreisbogens ist so groß wie der zugehörigen Umfangswinkel (Peripheriewinkel) und halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel).

Sehnentangentenwinkel

Nachweis, dass der Sehnentangentenwinkel gleich dem Umfangswinkel ist:

(Siehe Skizze)

Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel (siehe weiter oben):

$\phi =2\gamma$

Winkelsumme im gleichschenkligen $△AMB$:

$2{\alpha }_2+2\gamma =180^{\circ }$

${\alpha }_2=\frac{180^{\circ }-2\gamma }{2}=90^{\circ }-\gamma$

Sehnentangentenwinkel:

$\delta =90^{\circ }-{\alpha }_2=90^{\circ }-(90^{\circ }-\gamma )$

$\delta =\gamma$