Mathematik für Faule: Topologie/ Hausdorff-Distanz und Pompeiu-Räume

Es gilt offensichtlich $𝒦(X)\subseteq ℬ(X)\subseteq 𝒱(X)$. Des weiteren folgt aus $d_H(A,B)=0\iff \bar{A}=\bar{B}$, dass die Hausdorff-Distanz auf all diesen Räumen unterscheidend ist.

Aufgaben

1. 1. Es sei $(X,d)$ ein unbeschränkter Distanzraum. Für welche Teilmengen $A\subseteq X$ gilt $d_H(A,B)=\mathrm{\infty }$ für alle beschränkten $B\subseteq X$? Für welche $d_H(A,B)<\mathrm{\infty }$ für alle beschränkten $B\subseteq X$?
   2. Finden Sie einen Distanzraum $(X,d)$ und eine Teilmenge $A\subseteq X$, sodass für überabzählbar viele $B\subseteq X$ die Gleichung $d_H(A,B)=\mathrm{\infty }$ gilt.