Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Komposition

Komposition von injektiven, surjektiven oder bijektiven Abbildungen

Voraussetzung

$f:A\to B$ und $g:B\to C$ seien Abbildungen.

Behauptung

1. Sind $f$ und $g$ injektiv, dann auch $g\circ f$.
2. Sind $f$ und $g$ surjektiv, dann auch $g\circ f$.
3. Sind $f$ und $g$ bijektiv, dann auch $g\circ f$.

Beweis

1. Seien $f$ und $g$ als injektiv vorausgesetzt und $h:=g\circ f$. Weiter seien $x,y\in A$ mit $h(x)=h(y)$. Wir müssen $x=y$ zeigen.
   Nach Definition von $h$ gilt $g(f(x))=g(f(y))$. Da $g$ injektiv ist, folgt $f(x)=f(y)$. Da $f$ injektiv ist, folgt $x=y$.
2. Seien $f$ und $g$ als surjektiv vorausgesetzt und $h:=g\circ f$. Weiter sei ein Element $c\in C$ vorgegeben. Wir müssen ein $a\in A$ mit $h(a)=c$ finden.
   Da $g$ surjektiv ist, gibt es ein Element $b\in B$ mit $g(b)=c$. Da $f$ surjektiv ist, gibt es ein Element $a\in A$ mit $f(a)=b$. Zusammen haben wir $h(a)=g(f(a))=g(b)=c$ wie verlangt.
3. Dies folgt aus 1 und 2, da ja bijektiv $:\iff$ injektiv $\wedge$ surjektiv.

Wikipedia-Verweise

Bijektivität - Injektivität - Komposition - Surjektivität

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