Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren

Faktoren einer injektiven, surjektiven oder bijektiven Abbildung

Voraussetzung

$f:A\to B$ und $g:B\to C$ seien Abbildungen.

Behauptung

1. Ist $g\circ f$ injektiv, dann ist $f$ injektiv.
2. Ist $g\circ f$ surjektiv, dann ist $g$ surjektiv.
3. Ist $g\circ f$ bijektiv, dann ist $f$ injektiv und $g$ surjektiv.

Beweis

1. Sei $h:=g\circ f$ injektiv, $x,y\in A$ und $f(x)=f(y)$. Wir müssen $x=y$ zeigen.
   Aus $f(x)=f(y)$ folgt $g(f(x))=g(f(y))$, also $h(x)=h(y)$. Da $h$ als injektiv vorausgesetzt ist, gilt $x=y$.
2. Sei $h:=g\circ f$ surjektiv und $c\in C$. Wir müssen ein $b\in B$ mit $g(b)=c$ finden.
   Da $h$ surjektiv ist, gibt es ein $a\in A$ mit $h(a)=c$. Setze $b:=f(a)$. Dann ist $g(b)=g(f(a))=h(a)=c$ und wir sind fertig.
3. Dies folgt aus 1 und 2, da ja bijektiv $\iff$ injektiv und surjektiv.

Zerlegung einer Abbildung in eine Surjektion und eine Injektion

Voraussetzung

$f:A\to B$ sei eine beliebige Abbildung.

Behauptung

Es gibt eine Zerlegung $f=h\circ g$, wobei $g$ surjektiv und $h$ injektiv ist.

Beweis 1

$C:=\mathrm{im}f$ sei die Bildmenge von $f$ und $g:A\to C$ sei die Abbildung, die auf $A$ mit $f$ übereinstimmt, also $g(x):=f(x)$. Außerdem sei $h:C\hookrightarrow B$ die Inklusionsabbildung. Damit sind die Eigenschaften in der Behauptung erfüllt.

Beweis 2

Durch $x\sim y:⟺f(x)=f(y)$ ist eine Äquivalenzrelation $\sim$auf der Menge $A$ gegeben. $C$ sei die Faktormenge $A/\sim$ (also die Menge der Äquivalenzklassen) und $g:A\to C,x\mapsto [x]$ sei die Abbildung, die jedem Element seine Äquivalenzklasse zuordnet. $g$ ist nach Definition surjektiv. $h:C\to B$ wird nun festgelegt durch $h([x]):=f(x)$. Diese Abbildung ist wohldefiniert und injektiv und erfüllt die verlangte Eigenschaft $f=h\circ g$.

Wikipedia-Verweise

Äquivalenzrelation - Bijektivität - Bildmenge - Injektivität - Inklusionsabbildung - Komposition - Surjektivität - wohldefiniert

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