Aufgabensammlung Mathematik: Lösung der Gleichung x^y=y^x

Für die Addition und die Multiplikation von Zahlen gilt das Kommutativgesetz:

$x+y=y+x$

$x\cdot y=y\cdot x$

Für das Potenzieren gilt das offensichtlich nicht mehr, da z. B.

$8=2^3\ne 3^2=9$  und

$243=3^5\ne 5^3=125$

ist.

Allerdings fällt schnell das Beispiel auf, dass für manche x, y und $x\ne y$ trotzdem $x^y=y^x$ sein kann:

$4=2^4=4^2=4$.

Mathematisch handelt es sich um die Lösung der Gleichung $x^y=y^x$ mit $x\ne y$, während es sich bei

$x+y=y+x$

$x\cdot y=y\cdot x$

um Eigenschaften von kommutativen Ringen handelt.

Im folgenden werden wir uns meistens auf die Lösungen $(x,y)$ mit $x<y$ beschränken, das Paar $(y,x)$ stellt durch die Aufgabenstellung eine weitere Lösung dar.

Lösungen für x, y ∈ ℕ

Die bekannte Lösung ist $x=2,y=4$:

$4=2^4=4^2=4$.

Es gibt keine weiteren Lösungen.

Beweis

Fall x = 0

$0=0^y\ne y^0=1$

Es gibt keine Lösung, da beide Ausdrücke unterschiedliche Konstanten ergeben. $0^0$ als nicht definierten Ausdruck brauchen wir uns nicht anzusehen, da Lösungen mit $x<y$ gesucht werden.

Fall x = 1

$1=1^y\ne y^1=y$

$1=y$

Aus $x=1$ folgt als Lösung $y=1$, was allerdings $x\ne y$ nicht erfüllt und damit eine triviale Lösung ist.

Fall x = 2

y	2y	y2	Bemerkung
2	4	4	Triviallösung
3	8	9
4	16	16	Die Lösung
5	32	25	$2^y>y^2$
$y+1$	$2\cdot 2^y$	${(1+\frac{1}{y})}^2{y}^2$	Ab $y>\frac{1}{\sqrt{2}-1}=2,4142...$ wächst $2^y$ schneller als $y^2$. Da für $y=5$ schon $2^y>y^2$ ist, kann es keine weiteren Lösungen für $x=2$ geben.

Es gibt neben der Triviallösung $(x,x)$ eine weitere Lösung, da sich für $x\le y\le 2,414...$ $2^y$ erst mal noch langsamer steigt als $y^2$.

Fall x = 3 und größer

y	3y	y3	Bemerkung
3	27	27	Triviallösung
4	81	64	$3^y>y^3$
5	243	125
6	729	216
$y+1$	$3\cdot 3^y$	${(1+\frac{1}{y})}^3{y}^3$	Ab $y>\frac{1}{\sqrt[3]{3}-1}=2,2611...$ wächst $3^y$ schneller als $y^3$. Da für $y=4$ schon $3^y>y^3$ ist, kann es keine Lösungen für $x=3$ geben.

Neben der Triviallösung $(x,x)$ gibt es keine weitere Lösung, da ab $y\ge 2,2611...$ $3^y$ schneller steigt als $y^3$. Für größere n tritt das immer ein, falls

$\frac{1}{\sqrt[y]{y}-1}<y$

ist.

$\sqrt[y]{y}-1>\frac{1}{y}$

$y>{(1+\frac{1}{y})}^y\le e$

Für ${\displaystyle }$ größer als $e$ kann es daher keine Lösungen mehr geben.

Lösungen für x, y ∈ ℤ

Die bekannte Lösung ist $x=-2,y=-4$:

$\frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{(-2{)}^4}=(-2{)}^{-4}=(-4{)}^{-2}=\frac{1}{(-4{)}^2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$.

Es gibt keine weiteren Lösungen.

Beweis

Fall x ≥ 0, y ≥ 0

Siehe natürliche Zahlen.

Weiterer Lösungsvorgehen

Sucht man nach Lösungen, sind folgende zwei Ansätze heutzutage legitim:

• numerische Suche nach Lösungen, um aus gefundenen Lösungen Ideen der Struktur von Lösungen zu erhalten
  • Hier erhält man sehr schnell die Lösung $x=2,25={\left(\frac{3}{2}\right)}^2,y=3,375={\left(\frac{3}{2}\right)}^3$.
  • Algebraisch umgeformt, sieht man, dass die Lösung auch exakt ist:

${\left(\frac{3}{2}\right)}^{2{\left(\frac{3}{2}\right)}^3}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{3{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}$

${\left(\frac{3}{2}\right)}^{2\frac{3^3}{2^3}}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{3\frac{3^2}{2^2}}$

${\left(\frac{3}{2}\right)}^{\frac{3^3}{2^2}}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{\frac{3^3}{2^2}}$

• • Man sieht, dass sich diese Formel verallgemeinern lässt zu $x={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n,y={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{n+1}$, die

${\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{n{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{n+1}}={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{(n+1){\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n}$

${\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{n\frac{(n+1{)}^{n+1}}{n^{n+1}}}={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{(n+1)\frac{(n+1{)}^n}{n^n}}$

${\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{\frac{(n+1{)}^{n+1}}{n^n}}={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{\frac{(n+1{)}^{n+1}}{n^n}}$

• Plot der Funktion $x^y-y^x$, die, da $x^y$ für positive Zahlen stetig ist, auch stetig sein muss.
  • Die Funktion ist eine Sattelfläche, daher muss es unendlich viele Lösungen geben.

Lösungen für x, y ∈ ℚ

Man nimmt den Ansatz aus dem vorhergehenden Kapitel und erhält für n ∈ ℕ für x und y jeweils rationale Zahlen der Form ${\left(\frac{a}{b}\right)}^c$.

Wenn n nur aus den Primfaktoren 2 und 5 besteht, sind x und y sogar endliche Dezimalbrüche. Wenn n die Zahl 1 ist, erhält man die bekannte Lösung im Bereich der natürlichen Zahlen.

n	${\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n$	${\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{n+1}$	${\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{\frac{(n+1{)}^{n+1}}{n^n}}$	Bemerkung
1	${\left(\frac{2}{1}\right)}^1=2$	${\left(\frac{2}{1}\right)}^2=4$	$16$	bekannte Lösung für x, y ∈ ℕ
2	${\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}=2,25$	${\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{27}{8}=3,375$	$15,4388873...$	x, y sind endliche Dezimalbrüche
3	${\left(\frac{4}{3}\right)}^3=\frac{64}{27}=2,37037...$	${\left(\frac{4}{3}\right)}^4=\frac{256}{81}=3,1604938...$	$15,29693134...$
4	${\left(\frac{5}{4}\right)}^4=\frac{625}{256}=2,44140625$	${\left(\frac{5}{4}\right)}^5=\frac{3125}{1024}=3,0517578125$	$15,2399505...$	x, y sind endliche Dezimalbrüche
5	${\left(\frac{6}{5}\right)}^5=\frac{7776}{3125}=2,48832$	${\left(\frac{6}{5}\right)}^6=\frac{46656}{15625}=2,985984$	$15,2114168...$	x, y sind endliche Dezimalbrüche
. . .
10	${\left(\frac{11}{10}\right)}^{10}=1,1^{10}=2,5937424601$	${\left(\frac{11}{10}\right)}^{11}=1,1^{11}=2,85311670611$	$15,1605718...$	x, y sind endliche Dezimalbrüche
. . .
$\to \mathrm{\infty }$	$\to e$	$\to e$	$\to e^e=15,1542622...$

Lösungen für x, y ∈ ℝ

Gleiche Ansatz wie für x, y ∈ ℚ. n kann hier jetzt jede reelle Zahl mit $n>0$ oder $n<-1$ sein. Für gebrochene n erhält man algebraische Zahlen als Lösungen, für reelle n reelle Zahlen als Lösung:

n	${\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n$	${\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{n+1}$	${\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{\frac{(n+1{)}^{n+1}}{n^n}}$	Bemerkung
1/3	$\sqrt[3]{4}=1,587401...$	$4\sqrt[3]{4}=6,34960420...$	$17,3619052...$
1/2	$\sqrt{3}=1,7320508...$	$3\sqrt{3}=5,19615242...$	$18,8053267...$