Beweisarchiv: Mengenlehre: Mengenoperation: Bild und Urbild

Wir zeigen grundlegende Rechenregeln für Bild und Urbild von Teilmengen einer Menge.

Bild

Durchschnitt

Voraussetzung

$(A_i{)}_{i\in I}$ sei eine Familie von Teilmengen einer Menge $A$.

$B$ sei eine beliebige weitere Menge.

$f:A\to B$ sei eine Abbildung.

Behauptung

$f\left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)\subseteq \bigcap _{i\in I}f(A_i)$

Beweis

Ist $y\in f\left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)$, so existiert ein $x\in \bigcap _{i\in I}{A}_i$ mit $f(x)=y$. Es gilt $x\in A_i$ für alle $i\in I$. Insbesondere ist $y=f(x)\in f(A_i)$ für alle $i\in I$. Somit ist $y\in \bigcap _{i\in I}f(A_i)$.

$◻$

Gegenbeispiel für die umgekehrte Inklusion

$A=\{1,2\}$, $B=\{1\}$, $f(1)=1,f(2)=1$.

$I=\{1,2\}$, $A_1=\{1\}$, $A_2=\{2\}$.

Es gilt $A_1\cap A_2=\mathrm{\varnothing }$ und folglich $f(A_1\cap A_2)=\mathrm{\varnothing }$.

Andererseits ist $f(A_1)=\{1\}$ und $f(A_2)=\{1\}$ und folglich $f(A_1)\cap f(A_2)=\{1\}$.

Durchschnitt für injektive Abbildungen

Voraussetzung

$(A_i{)}_{i\in I}$ sei eine Familie von Teilmengen einer Menge $A$ mit $I\ne \mathrm{\varnothing }$.

$B$ sei eine beliebige weitere Menge.

$f:A\to B$ sei eine injektive Abbildung.

Behauptung

$f\left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)=\bigcap _{i\in I}f(A_i)$

Beweis

Die Inklusion "$\subseteq$" gilt im Allgemeinen, es genügt also, die Inklusion "$\supseteq$" zu zeigen.

Sei also $y\in \bigcap _{i\in I}f(A_i)$. Dann ist $y\in f(A_i)$ für alle $i\in I$.

Es gibt für alle $i\in I$ ein $x_i\in A_i$ mit $f(x_i)=y$.

Weil $f$ injektiv ist, folgt $x_i=x_j$ für je zwei $i,j\in I$.

Da $I\ne \mathrm{\varnothing }$, gibt es folglich ein $x\in A$ mit $x\in A_i$ für alle $i\in I$ und $f(x)=y$.

Es folgt $x\in \bigcap _{i\in I}{A}_i$. Also ist $y\in f\left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)$, wie behauptet.

$◻$

Leere Indexmenge

Ist $I=\mathrm{\varnothing }$, so ist nach Konvention $\bigcap _{i\in I}{A}_i=A$ und $\bigcap _{i\in I}f(A_i)=B$. Die behauptete Gleichheit reduziert sich in diesem Fall auf $f(A)=B$. Das aber ist äquivalent zu Surjektivität von $f$. Insbesondere gilt die Gleichheit in diesem Fall im Allgemeinen nicht.

Vereinigung

Voraussetzung

$(A_i{)}_{i\in I}$ sei eine Familie von Teilmengen einer Menge $A$.

$B$ sei eine beliebige weitere Menge.

$f:A\to B$ sei eine Abbildung.

Behauptung

$f\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)=\bigcup _{i\in I}f(A_i)$

Beweis

$y\in f\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)$

$⟺$ Es gibt ein $x\in \bigcup _{i\in I}{A}_i$ mit $f(x)=y$

$⟺$ Es gibt ein $i\in I$ und ein $x\in A_i$ mit $f(x)=y$

$⟺$ Es gibt ein $i\in I$ mit $y\in f(A_i)$

$⟺$ $y\in \bigcup _{i\in I}f(A_i)$

$◻$

Urbild

Durchschnitt

Voraussetzung

$(B_i{)}_{i\in I}$ sei eine Familie von Teilmengen einer Menge $B$.

$A$ sei eine weitere beliebige Menge.

$f:A\to B$ sei eine Abbildung.

Behauptung

$f^{-1}\left(\bigcap _{i\in I}{B}_i\right)=\bigcap _{i\in I}{f}^{-1}(B_i)$

Beweis

$x\in f^{-1}\left(\bigcap _{i\in I}{B}_i\right)$

$⟺$ $f(x)\in \bigcap _{i\in I}{B}_i$

$⟺$ $f(x)\in B_i$ für alle $i\in I$

$⟺$ $x\in f^{-1}(B_i)$ für alle $i\in I$

$⟺$ $x\in \bigcap _{i\in I}{f}^{-1}(B_i)$

$◻$

Vereinigung

Voraussetzung

$(B_i{)}_{i\in I}$ sei eine Familie von Teilmengen einer Menge $B$.

$A$ sei eine weitere beliebige Menge.

$f:A\to B$ sei eine Abbildung.

Behauptung

$f^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}{B}_i\right)=\bigcup _{i\in I}{f}^{-1}(B_i)$

Beweis

$x\in f^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}{B}_i\right)$

$⟺$ $f(x)\in \bigcup _{i\in I}{B}_i$

$⟺$ $f(x)\in B_i$ für mindestens ein $i\in I$

$⟺$ $x\in f^{-1}(B_i)$ für mindestens ein $i\in I$

$⟺$ $x\in \bigcup _{i\in I}{f}^{-1}(B_i)$

$◻$

Differenz

Voraussetzung

Seien $A$ und $B$ beliebige Mengen und $B_1,B_2\subseteq B$ beliebige Teilmengen.

$f:A\to B$ sei eine Abbildung.

Behauptung

$f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2)=f^{-1}(B_1\setminus B_2)$

Beweis

$x\in f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2)$

$⟺$ $x\in f^{-1}(B_1)$ und $x\notin f^{-1}(B_2)$

$⟺$ $f(x)\in B_1$ und $f(x)\notin B_2$

$⟺$ $f(x)\in B_1\setminus B_2$

$⟺$ $x\in f^{-1}(B_1\setminus B_2)$

$◻$