Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Kurvendiskussion Umkehraufgaben

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<section begin="01" /> Es geht um eine Polynomfunktion 4. Grades, wir brauchen daher 5 Gleichungen.

Die allgemeine Gleichung einer Polynomfunktion 4.Grades ist:

$P(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$

Die entsprechende 1. Ableitung ist:

$P^{\prime }(x)=4a{x}^3+3b{x}^2+2cx+d$

Die entsprechende 2. Ableitung ist:

$P^{″}(x)=12a{x}^2+6bx+2c$

Diese Ableitungen können wir mit Hilfe von Geogebra berechnen:

Geogebra→CAS→
$P(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$
eingeben und $f^{\prime }$ klicken, Ergebnis:
$P^{\prime }(x)=4a{x}^3+3b{x}^2+2cx+d$
Dieses Ergebnis in die zweite Zeile übertragen und wieder $f^{\prime }$ klicken, das zweite Ergebnis ist dann:
$P^{″}(x)=12a{x}^2+6bx+2c$

1. An der Stelle 3 (x=3) hat die Funktion den Wert 4: P(3)=4, wie wir im Punkt $(3|4)$ ablesen können
   $4=a{3}^4+b{3}^3+c{3}^2+d3+e$
2. Diese Stelle ist allerdings auch ein Wendepunkt, die 2. Ableitung ist daher $0$: $P^{″}(3)=0$
   $0=12a{3}^2+6b3+2c$
3. An der Stelle 3,4 (x=3,4) hat die Funktion den Wert 5: P(3,4)=5, wie wir im Punkt $(3,4|5)$ ablesen können
   $5=a3,4^4+b3,4^3+c3,4^2+d3,4+e$
4. Diese Stelle ist allerdings auch ein Extrempunkt, die 1. Ableitung ist daher $0$: $P^{\prime }(3,4)=0$
   $0=4a3,4^3+3b3,4^2+2c3,4+d$
5. An der Stelle −1(x=−1) hat die Funktion eine Lösung, also ist der Wert der Funktion y=0, P(−1)=0
   $0=a(-1{)}^4+b(-1{)}^3+c(-1{)}^2+d(-1)+e$

Wir haben somit ein lineares Gleichungssystem mit 5 Gleichungen und 5 Unbekannten, das wir mit Hilfe von Geogebra lösen können:

Geogebra→CAS→löse({Gleichungen})→Ergebnis:
{{#lst:Mathematrix:_Antworten nach Thema/ Differentialrechnung|Kurvendiskussion Umkehraufgaben01}}
ist somit die gefragte Funktion