Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Ermittlung einer quadratischen Funktion

{{#lst:Mathematrix: Aufgabensammlung/ Ermittlung einer quadratischen Funktion|01}}

<section begin="01" /> Die allgemeine Gleichung einer quadratischen Funktion ist:

$Q(x)=a{x}^2+bx+c$

Die entsprechende Ableitung ist:

$Q^{\prime }(x)=2\cdot ax+b$

An der Stelle 3 (x=3) hat die Funktion den Wert 5: Q(3)=5, Punkt $(3|5)$

$5=a{3}^2+b3+c$

An der Stelle 1,5 (x=1,5) hat die Funktion den Wert 4,5: Q(1,5)=4,5, Punkt $(1,5|4,5)$

$4,5=a1,5^2+b1,5+c$

An der Stelle 2 (x=2) ist die Ableitung null (Q'(x)=0)

$0=2\cdot a\cdot 2+b$

Wir haben daher ein LGS mit 3 Gleichungen und drei Unbekannten:

$\begin{array}{cccc}9a+& 3b+& c& =5\\ 2,25a+& 1,5b+& c& =4,5\\ 4a+& 1b& & =0\end{array}$

Als Matrize:

$\left[\begin{array}{ccc}9& 3& 1\\ 2,25& 1,5& 1\\ 4& 1& 0\end{array}|\begin{array}{c}5\\ 4,5\\ 0\end{array}\right]$

Letztere kann mit einem elektronischen Hilfsmittel
oder mit dem gaußschen Verfahren gelöst werden:

$\left[\begin{array}{ccc}9& 3& 1\\ 2,25& 1,5& 1\\ 4& 1& 0\end{array}|\begin{array}{c}5\\ 4,5\\ 0\end{array}\right]\begin{array}{c}\frac{}{}\\ I-II\\ \frac{}{}\end{array}$

$\left[\begin{array}{ccc}9& 3& 1\\ 6,75& 1,5& 0\\ 4& 1& 0\end{array}|\begin{array}{c}5\\ 0,5\\ 0\end{array}\right]\begin{array}{c}\frac{}{}\\ \frac{}{}\\ 2II-3III\end{array}$

$\left[\begin{array}{ccc}9& 3& 1\\ 6,75& 1,5& 0\\ 1,5& 0& 0\end{array}|\begin{array}{c}5\\ 0,5\\ 1\end{array}\right]\begin{array}{c}\frac{}{}\\ 2II-9III\\ \frac{}{}\end{array}$

$\left[\begin{array}{ccc}9& 3& 1\\ 0& 3& 0\\ 1& 0& 0\end{array}|\begin{array}{c}5\\ -8\\ \frac{1}{1,5}\end{array}\right]\begin{array}{c}-II-9III\\ \frac{}{}\\ \frac{}{}\end{array}$

$\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}|\begin{array}{c}7\\ -\frac{8}{3}\\ \frac{2}{3}\end{array}\right]$

In der ersten Spalte war die Koeffizient a von $x^2$. Wir können sie in der dritten Zeile ablesen: $a=\frac{2}{3}$. Entsprechend können wir die Koeffizient von x an der zweiten Zeile und den y-Achsenabschnitt c an der ersten Zeile ablesen. Die gefragte quadratische Funktion lautet daher:

{{#lst:Mathematrix: Antworten nach Thema/ Differentialrechnung|Ermittlung einer quadratischen Funktion01}} <section end="01" />