Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Trigonometrische Umkehrfunktionen

Der Sinus eines Winkels ist $\frac{5}{13}$. Wie viel ist der Kosinus? Wie groß ist der Winkel? Wie groß ist die Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks, wenn die Gegenkathete des Winkels mit Sinus $\frac{5}{13}$ 9 cm ist?

Berechnen wir zunächst einmal den Winkel mit Hilfe der Umkehrfunktion von Sinus:

$\sin x=\frac{5}{13}\to x=\arcsin \frac{5}{13}\approx 22,62^{\circ }$

Um den Kosinus zu berechnen, gibt es dann zwei Wege:

• Mit Hilfe des Winkels. In diesem Fall wird das am Taschenrechner gezeigte Ergebnis oft als Kommazahl angegeben, auch wenn wir gar nicht runden:
  $\cos 22,6198...\approx 0,9231$(eine genauere Angabe im Taschenrechner wäre: $\cos (\arcsin \frac{5}{13})=0,\overline{923076}$).
  Um ein genaues Ergebnis zu berechnen, können wir allerdings wie im Folgenden den Satz von Pythagoras benutzen:

• ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\to \cos x=\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=\sqrt{1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2}=\frac{12}{13}$

Um die gefragte Hypotenuse zu berechnen, gehen wir wie im Folgenden vor. Sei a die Gegenkathete und c die Hypotenuse:

$\sin \alpha =\frac{5}{13}=\frac{a}{c}=\frac{9}{c}\to \frac{5}{13}=\frac{9}{c}\to c=\frac{9\cdot 13}{5}=23,4cm$