Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Die Steigung und ihre Zusammenhänge

Beweis der Formel der Steigung einer linearen Funktion

Zeigen Sie, dass die Steigung s einer linearen Funktion $s=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$ist.

Wir benutzen hier 2 Punkte, wie in der entsprechenden Aufgabe mit konkreten Zahlen. Diesmal benutzen wir Symbole statt konkreten Zahlen.

$$ $\left|\begin{array}{ccc}P(x|y)& y& =sx+A\\ P(x_1|y_1)& y_1& =s{x}_1+A& \\ P(x_2|y_2)& y_2& =s{x}_2+A\end{array}\right|\begin{array}{c}\\ 𝐈\\ 𝐈𝐈\end{array}$

Wir formen beide Gleichungen auf A um:
$\left(\begin{array}{cc}{y}_1& =s\cdot x_1+A\\ y_2& =s\cdot x_2+A\end{array}\right)\begin{array}{c}|-s\cdot x_1\\ |-s\cdot x_2\end{array}$
$\iff \left(\begin{array}{cc}{y}_1-s{x}_1& =𝐀\\ y_2-s{x}_2& =𝐀\end{array}\right)$
Da die rechten Seiten der Gleichungen gleich sind (beide A),
sollen auch die linken gleich sein.
$\begin{array}{ccc}{y}_1-s{x}_1& =y_2-s{x}_2& |-y_1+s{x}_2\\ s{x}_2-s{x}_1& =y_2-y_1& |\text{s herausheben}\\ s(x_2-x_1)& =y_2-y_1& |:(x_2-x_1)\\ s& =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}& \end{array}$
Das Symbol $\mathrm{\Delta }$bedeutet Differenz. $\mathrm{\Delta }y=y_2-y_1$und $\mathrm{\Delta }x=x_2-x_1$, daher:
$$Steigung$s=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$

Zusammenhang linearer Funktion und direkter Proportionalität

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Zusammenhang linearer Funktion und Ähnlichkeit ebener Figuren

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