Mathematrix: Antworten nach Thema/ Trigonometrische Funktionen

Mathematrix: Vorlage: Kleinkram

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Mathematrix: Vorlage: Suche

Definition von Sinus Kosinus und Tangens

1. <section begin="Definition von Sinus Kosinus und Tangens01" />$\sin \alpha =\frac{a}{b}=\frac{3}{5}\cos \alpha =\frac{c}{b}=\frac{4}{5}\tan \alpha =\frac{a}{c}=\frac{3}{4}$
<section end="Definition von Sinus Kosinus und Tangens01" />
2. <section begin="Definition von Sinus Kosinus und Tangens02" />$\sin \gamma =\frac{c}{f}=\frac{8}{17}\cos \gamma =\frac{g}{f}=\frac{15}{17}\tan \gamma =\frac{c}{g}=\frac{8}{15}$<section end="Definition von Sinus Kosinus und Tangens02" />
3. <section begin="Definition von Sinus Kosinus und Tangens03" />$\sin \theta =\frac{y}{r}=\frac{1}{2}\cos \theta =\frac{x}{r}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan \theta =\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$<section end="Definition von Sinus Kosinus und Tangens03" />
4. <section begin="Definition von Sinus Kosinus und Tangens04" />$\sin \epsilon =\frac{e}{m}=\frac{1}{2}\cos \epsilon =\frac{f}{m}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan \epsilon =\frac{e}{f}=\frac{\sqrt{3}}{3}$<section end="Definition von Sinus Kosinus und Tangens04" />

Trigonometrische Umkehrfunktionen

1. <section begin="Trigonometrische Umkehrfunktionen01" />
   1. $\cos =\frac{12}{13}$
   2. $\theta \approx 22,62^{\circ }$
   3. $23,4cm$
   4. $\omega =\arccos \left(\frac{c}{b}\right)\approx 57,28^{\circ }$
   5. $ca.66,5^{\circ }$
   <section end="Trigonometrische Umkehrfunktionen01" />
2. <section begin="Trigonometrische Umkehrfunktionen02" />
   1. $\cos =\frac{20}{29}$
   2. $\theta \approx 46,40^{\circ }$
   3. $17\frac{20}{21}cm\approx 17,95cm$
   4. $\theta =\arctan \left(\frac{y}{x}\right)\approx 28,39^{\circ }$
   6. $ca.1,72^{\circ }$
   <section end="Trigonometrische Umkehrfunktionen02" />
3. <section begin="Trigonometrische Umkehrfunktionen03" />
   1. $\cos =\frac{72}{97}$
   2. $\theta \approx 42,08^{\circ }$
   3. $19,4cm$
   4. $ϵ=\arctan \left(\frac{e}{f}\right)\approx 39,04^{\circ }$
   6. $ca.59,53^{\circ }$
   <section end="Trigonometrische Umkehrfunktionen03" />
4. <section begin="Trigonometrische Umkehrfunktionen04" />
   1. $\cos =\frac{36}{85}$
   2. $\theta \approx 64,94^{\circ }$
   3. $\frac{85}{7}\approx 12,14cm$
   4. $\varphi =\arccos \left(\frac{e}{m}\right)\approx 35,82^{\circ }$
   6. $ca.11,31^{\circ }$
   <section end="Trigonometrische Umkehrfunktionen04" />

Trigonometrische Satz von Pythagoras

Pythagoras Satz in Trigonometrie Abstrakt

1. <section begin="Pythagoras Satz in Trigonometrie Abstrakt01" />a, b: Katheten, c: Hypotenuse.
   $a^2+b^2=c^2\to c^2{\sin }^2\alpha +c^2{\cos }^2\alpha =c^2\to$
   $c^2({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )=c^2\to {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$<section end="Pythagoras Satz in Trigonometrie Abstrakt01" />
2. <section begin="Pythagoras Satz in Trigonometrie Abstrakt02" />$\tan x=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\stackrel{erweitern}{=}\frac{\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}{\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}=\frac{\sin x}{\cos x}$<section end="Pythagoras Satz in Trigonometrie Abstrakt02" />
3. <section begin="Pythagoras Satz in Trigonometrie Abstrakt03" />${\tan }^{2}x=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1$<section end="Pythagoras Satz in Trigonometrie Abstrakt03" />
4. <section begin="Pythagoras Satz in Trigonometrie Abstrakt04" />hier klicken<section end="Pythagoras Satz in Trigonometrie Abstrakt04" />

Pythagoras Satz in Trigonometrie Konkret

1. <section begin="Pythagoras Satz in Trigonometrie Konkret01" />$\tan \alpha =\frac{20}{21}\sin \alpha =cos\beta =\frac{20}{29}\cos \alpha =\frac{21}{29}$
   $\alpha \approx 43,60^{\circ }\beta \approx 46,40^{\circ }$<section end="Pythagoras Satz in Trigonometrie Konkret01" />
2. <section begin="Pythagoras Satz in Trigonometrie Konkret02" />$\tan \alpha =\frac{26}{69}\sin \alpha =cos\beta =\frac{69}{269}\cos \alpha =\frac{260}{269}$
   $\alpha \approx 14,86^{\circ }\beta \approx 75,14^{\circ }$<section end="Pythagoras Satz in Trigonometrie Konkret02" />
3. <section begin="Pythagoras Satz in Trigonometrie Konkret03" />$\tan \alpha =\frac{2}{3}\sin \alpha =cos\beta =\frac{2}{\sqrt{13}}\cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{13}}$
   $\alpha \approx 33,69^{\circ }\beta \approx 56,31^{\circ }$<section end="Pythagoras Satz in Trigonometrie Konkret03" />
4. <section begin="Pythagoras Satz in Trigonometrie Konkret04" />$\tan \alpha =\frac{11,9}{12}\sin \alpha =cos\beta =\frac{119}{169}\cos \alpha =\frac{120}{169}$
   $\alpha \approx 44,76^{\circ }\beta \approx 45,24^{\circ }$<section end="Pythagoras Satz in Trigonometrie Konkret04" />

Einheitskreis

Einheitskreis und trigonometrische Funktionen

1. <section begin="Einheitskreis und trigonometrische Funktionen01" />i) 17,46°+n·360° oder 162,54°+n·360°
   ii) 72,54°+n·360° oder 287,46°+n·360°<section end="Einheitskreis und trigonometrische Funktionen01" />
2. <section begin="Einheitskreis und trigonometrische Funktionen02" />i) −17,46°+n·360° oder 197,46°+n·360°
   ii) 107,46°+n·360° oder 252,54°+n·360°<section end="Einheitskreis und trigonometrische Funktionen02" />
3. <section begin="Einheitskreis und trigonometrische Funktionen03" />i) 53,13°+n·360° oder 126,87°+n·360°
   ii) 143,13°+n·360° oder 216,87°+n·360°<section end="Einheitskreis und trigonometrische Funktionen03" />
4. <section begin="Einheitskreis und trigonometrische Funktionen04" />i) 315°+n·360° oder 225°+n·360°
   ii) 45°+n·360° oder 315°+n·360°<section end="Einheitskreis und trigonometrische Funktionen04" />

Radiant

1. <section begin="Radiant01" />
   1. A)$540^{\circ },$ B)$100^{\circ },$C)$ca.11,5^{\circ },$D)$ca.10,1^{\circ },$E)$ca.20626^{\circ }$
   2. A)$ca.5,24rad,$B)$ca.0,0035rad,$C)$ca.0,164rad,$D)$0,105rad,$E)$\frac{3\pi }{4}rad$
   3. A) 4.Q$$B) 2.Q$$C) 2.Q$$D) 1.Q$$E) 1.Q aber mehr als Halbkreis!
   <section end="Radiant01" />
2. <section begin="Radiant02" />
   1. A)$900^{\circ },$ B)$ca.231^{\circ },$C)$ca.34,4^{\circ },$D)$ca.14,6^{\circ },$E)$ca.15470^{\circ }$
   2. A)$ca.3,49rad,$B)$ca.0,0087rad,$C)$ca.0,274rad,$D)$0,361rad,$E)$\frac{19\pi }{10}rad$
   3. A) 3.Q$$B) 4.Q$$C) 4.Q$$D) 1.Q$$E) 1.Q
   <section end="Radiant02" />
3. <section begin="Radiant03" />
   1. A)$720^{\circ },$ B)$252^{\circ },$C)$ca.28,6^{\circ },$D)$ca.11,4^{\circ },$E)$ca.18048^{\circ }$
   2. A)$1,3\dot{8}\pi rad,$B)$ca.0,0070rad,$C)$ca.0,246rad,$D)$0,361rad,$E)$ca.3,80rad$
   3. A) 2.Q$$B) 3.Q$$C) 4.Q$$D) 1.Q$$E) 2.Q aber mehr als Halbkreis!
   <section end="Radiant03" />
4. <section begin="Radiant04" />
   1. A)$1260^{\circ },$ B)$210^{\circ },$C)$ca.85,9^{\circ },$D)$ca.14,2^{\circ },$E)$ca.24100^{\circ }$
   2. A)$\frac{\pi }{12}rad,$B)$\frac{\pi }{225}rad,$C)$\frac{7{\pi }^2}{360}rad,$D)$\frac{43}{252}rad,$E)$\frac{14\pi }{9}rad$
   3. A) 1.Q$$B) zwischen 2. und 3. Q$$C) 1.Q$$D) 1.Q aber mehr als Halbkreis!$$E) 1.Q aber mehr als Halbkreis!
   <section end="Radiant04" />

Einheitskreis wichtige Punkte

1. <section begin="Einheitskreis wichtige Punkte01" />
   1. Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
   2. $\sin x=0\iff x=n\cdot \pi rad=n\cdot 180^{\circ },n\in \mathbb{Z}$
      $\sin x=1\iff x=(2n\cdot \pi +\frac{\pi }{2})rad=n\cdot 360^{\circ }+90^{\circ },n\in \mathbb{Z}$
      $\sin x=-1\iff x=(2n\cdot \pi -\frac{\pi }{2})rad=n\cdot 360^{\circ }-90^{\circ },n\in \mathbb{Z}$
   <section end="Einheitskreis wichtige Punkte01" />
2. <section begin="Einheitskreis wichtige Punkte02" />
   1. Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
   2. $\sin x=cosx>0\iff x=(2n\cdot \pi +\frac{\pi }{4})rad=n\cdot 360^{\circ }+45^{\circ },n\in \mathbb{Z}$
      $\cos x=\frac{1}{2}\iff x=(2n\cdot \pi \pm \frac{\pi }{3})rad=n\cdot 360^{\circ }\pm 60^{\circ },n\in \mathbb{Z}$
   <section end="Einheitskreis wichtige Punkte02" />
3. <section begin="Einheitskreis wichtige Punkte03" />
   1. Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
   2. $\cos x=1\iff x=2n\cdot \pi rad=n\cdot 360^{\circ },n\in \mathbb{Z}$
      $\cos x=0\iff x=(n\cdot \pi +\frac{\pi }{2})rad=n\cdot 180^{\circ }+90^{\circ },n\in \mathbb{Z}$
      $\cos x=-1\iff x=(2n+1)\cdot \pi rad=(2n+1)\cdot 180^{\circ },n\in \mathbb{Z}$
   <section end="Einheitskreis wichtige Punkte03" />
4. <section begin="Einheitskreis wichtige Punkte04" />
   1. Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
   2. $\cos x=\frac{1}{2}\iff x=(2n\cdot \pi \pm \frac{\pi }{4})rad=2n\cdot 360^{\circ }\pm 45^{\circ },n\in \mathbb{Z}$
      $\cos x=-\frac{1}{2}\iff x=(2n+1\pm \frac{\pi }{4})\cdot \pi rad=(2n+1\pm \frac{1}{4})\cdot 180^{\circ },n\in \mathbb{Z}$
   <section end="Einheitskreis wichtige Punkte04" />

Trigonometrische Funktionen Diagramm

Parameter im Diagramm der Sinusfunktion

1. <section begin="Parameter im Diagramm der Sinusfunktion01" />
   1. blau 1,1; rot 0,6
   2. rot, ?
   3. Blau sin, Orange cos, grün tan
   4. $A0=2,4,\omega =3,c=0,4,\varphi =0$
   <section end="Parameter im Diagramm der Sinusfunktion01" />
2. <section begin="Parameter im Diagramm der Sinusfunktion02" />
   1. blau −1,4; rot 2,4
   2. rot, $\pm \pi$
   3. Blau sin, Orange cos, grün tan
   4. $A0=0,6,\omega =2,c=0,\varphi =-\frac{\pi }{4}$
   <section end="Parameter im Diagramm der Sinusfunktion02" />
3. <section begin="Parameter im Diagramm der Sinusfunktion03" />
   1. blau 3; rot 1
   2. keine, beide $\pm \pi$
   3. Blau sin, Orange cos, grün tan
   4. $A0=1,\omega =1,c=1,\varphi =-\frac{\pi }{4}$
   <section end="Parameter im Diagramm der Sinusfunktion03" />
4. <section begin="Parameter im Diagramm der Sinusfunktion04" />
   1. blau 0; rot 1,6
   2. keine, blau $\pm \pi$, rot $-\frac{3\pi }{4}$
   3. Blau sin, Orange cos, grün tan
   4. $A0=2,\omega =1,c=-0,8,\varphi =\frac{\pi }{2}$
   <section end="Parameter im Diagramm der Sinusfunktion04" />
5. <section begin="Parameter im Diagramm der Sinusfunktion05" />
   1. blau 2,6; rot 1,2
   2. rot, blau $\pm \pi$
   3. Blau sin, Orange cos, grün tan
   4. $A0=3,4,\omega =\frac{1}{2},c=0,\varphi =<math>\pm \pi$</math>
   <section end="Parameter im Diagramm der Sinusfunktion05" />
6. <section begin="Parameter im Diagramm der Sinusfunktion06" />
   1. blau 0,6; rot 3,2
   2. keine, blau $\pm \pi$, rot $-\frac{\pi }{4}$
   3. Blau sin, Orange cos, grün tan
   4. $A0=0,6,\omega =\frac{1}{4},c=-1,4,\varphi =<math>\pm \pi$
   <section end="Parameter im Diagramm der Sinusfunktion06" />

Sinus und Kosinussatz

Direkte Anwendung des Sinus und des Kosinussatzes

1. <section begin="Direkte Anwendung des Sinus und des Kosinussatzes01" />$125,93^{\circ }$<section end="Direkte Anwendung des Sinus und des Kosinussatzes01" />
2. <section begin="Direkte Anwendung des Sinus und des Kosinussatzes02" />$d_2\approx 4,3cm$<section end="Direkte Anwendung des Sinus und des Kosinussatzes02" />
3. <section begin="Direkte Anwendung des Sinus und des Kosinussatzes03" />$a\approx 3,94cm$<section end="Direkte Anwendung des Sinus und des Kosinussatzes03" />
4. <section begin="Direkte Anwendung des Sinus und des Kosinussatzes04" />$d_2\approx 3,53cm$<section end="Direkte Anwendung des Sinus und des Kosinussatzes04" />
5. <section begin="Direkte Anwendung des Sinus und des Kosinussatzes05" />$d\approx 3,95cm$<section end="Direkte Anwendung des Sinus und des Kosinussatzes05" />
6. <section begin="Direkte Anwendung des Sinus und des Kosinussatzes06" />$d_2\approx 9,24cm$<section end="Direkte Anwendung des Sinus und des Kosinussatzes06" />

Vermessungsaufgaben

1. <section begin="Vermessungsaufgaben01" />$h\approx 7,56m,d\approx 2,47m$
   

   

   <section end="Vermessungsaufgaben01" />
2. <section begin="Vermessungsaufgaben02" />$d\approx 1037m$
   

   

   <section end="Vermessungsaufgaben02" />
3. <section begin="Vermessungsaufgaben03" />$h\approx 13,54,d\approx 2,84$
   

   

   <section end="Vermessungsaufgaben03" />
4. <section begin="Vermessungsaufgaben04" />$d\approx 2826m$
   

   

   <section end="Vermessungsaufgaben04" />
5. <section begin="Vermessungsaufgaben05" />$h\approx 11,55,d\approx 3,86$
   

   

   <section end="Vermessungsaufgaben05" />
6. <section begin="Vermessungsaufgaben06" />$d\approx 1719m$
   

   

   <section end="Vermessungsaufgaben06" />