Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Ableitung von Potenzfunktionen

i) Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen. A)$b(v)=7v^5$ B)$x(y)=y^9$ C)$f(x)=\frac{5}{12}{x}^{12}$ D)$a(c)=b{c}^d$ E)$v(t)=\sqrt[4]{t^3}$ F)$f(x)=\frac{5}{x^5}$ G)$V(h)=\sqrt[4]{\frac{1}{h^5}}$ H)$H(x)=\sqrt[3]{\frac{27}{x^7}}$ I)$m(n)=\sqrt[5]{\frac{3125}{n^{15}}}$. ii) Berechnen Sie den Wert der Funktion und der Ableitung . an der Stelle 2 bei Aufgaben A, B, C, D, G und I

i)

A) $b(v)=7v^5\Rightarrow b^{\prime }(v)=35v^4$B) $x(y)=y^9\Rightarrow x^{\prime }(y)=9y^8$

C) $f(x)=\frac{5}{12}{x}^{12}\Rightarrow f^{\prime }(x)=5x^{11}$D) $a(c)=b{c}^d\Rightarrow a^{\prime }(c)=bd{c}^{d-1}$

E) $v(t)=\sqrt[4]{t^3}=t^{\frac{3}{4}}\Rightarrow v^{\prime }(t)=\frac{3}{4}{t}^{\frac{3}{4}-1}=\frac{3}{4}{t}^{-\frac{1}{4}}(=\frac{3}{4\sqrt[4]{t}})$

F) $f(x)=\frac{5}{x^5}=5x^{-5}\Rightarrow f^{\prime }(x)=5\cdot (-5)x^{-5-1}=-25x^{-6}$

G) $V(h)=\sqrt[4]{\frac{1}{h^5}}=\sqrt[4]{h^{-5}}=h^{-\frac{5}{4}}\Rightarrow V^{\prime }(h)=-\frac{5}{4}{h}^{-\frac{5}{4}-1}=-\frac{5}{4}{h}^{-\frac{9}{4}}(=-\frac{5}{4\sqrt[4]{h^9}})$

H) $H(x)=\sqrt[3]{\frac{27}{x^7}}=\sqrt[3]{27}\sqrt[3]{x^{-7}}=3x^{-\frac{7}{3}}\Rightarrow$

$H^{\prime }(x)=3\cdot (-\frac{7}{3})x^{-\frac{7}{3}-1}=-7x^{-\frac{10}{3}}(=-\frac{7}{\sqrt[3]{x^{10}}})$

I) $m(n)=\sqrt[5]{\frac{3125}{n^{15}}}=\sqrt[5]{3125}\sqrt[5]{n^{-15}}=5n^{-\frac{15}{5}}=5n^{-3}\Rightarrow$

$m^{\prime }(n)=5\cdot (-3)n^{-3-1}=-15n^{-4}$.

ii)

A) $b(2)=7\cdot 2^5=224b^{\prime }(2)=35\cdot 2^4=560$B) $x(2)=2^9=512x^{\prime }(2)=9\cdot 2^8=2304$

C) $f(2)=\frac{5}{12}\cdot 2^{12}=1706,\dot{6}{f}^{\prime }(x)={\frac{5}{2}}^{11}=20480$D) $a(2)=b\cdot 2^d{a}^{\prime }(2)=b\cdot d\cdot 2^{d-1}$

G) $V(2)=2^{-\frac{5}{4}}\approx 0,42V^{\prime }(2)=-\frac{5}{4}\cdot 2^{\frac{1}{4}}\approx -1,05$

I) $m(2)=5\cdot 2^{-3}=0,625m^{\prime }(2)=-15\cdot 2^{-4}=-0,9375$