Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang lineare Algebra/Abstellraum Untervektorraum

Vektorraum der Polynome

Du kennst sicher aus der Schule Polynome. Polynome sind Funktionen folgender Art: $p:ℝ\to ℝ:p(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$; dabei ist $x^0=1$.

Wir wollen im Folgenden den Polynomraum etwas näher untersuchen. Wir betrachten die Polynome nicht als Funktionen, bei denen für die Variable $x$ ein Wert eingesetzt werden kann und dann ein $y\text{-Wert}$ errechnet wird, sondern wir betrachten die Polynome selbst als Vektoren über dem Körper ihrer Koeffizienten, also als Vektoren der Form $p_n(x):=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$.

Dabei heißt $n\in \mathbb{N}$ der Grad des Polynoms und gibt den höchsten Exponenten des Polynoms an.

Die Menge $V=\{\sum _{i=0}^n{\alpha }_i{x}^i|{\alpha }_i\in K,n\in \mathbb{N}\}$ ist mit folgender Vektoraddition und Skalar Multiplikation ein Vektorraum über dem Körper $K$.

• Addition: $\sum _{i=0}^n{\alpha }_i{x}^i+\sum _{i=0}^n{\beta }_i{x}^i=\sum _{i=0}^n({\alpha }_i+{\beta }_i)x^i$ mit ${\alpha }_i,{\beta }_i\in K$

• Skalar Multiplikation: $s\cdot (\sum _{i=0}^n{\alpha }_i{x}^i)=\sum _{i=0}^{n}s{\alpha }_i{x}^i$ mit ${\alpha }_i\text{ und }s\in K$

Man bezeichnet diesen Vektorraum auch mit $K[x]$ und nennt ihn den Vektorraum der Polynome über dem Körper $K$.

Wir bezeichnen weiter mit $K_n[x]$ die Menge der Polynome, die höchstens den Grad $n$ haben. Also ist beispielsweise $K_2[x]=\{a{x}^2+bx+c|\text{ für alle }a,b,c\in K\}$

Weiterführende Beispiele

Polynome sind Unterräume von $Abb(K,K)$

Es gilt $K[x]$ ist Untervektorraum von $Abb(K,K)$, denn das Nullpolynom $0(x)=0\in K[x]$ und damit $K[x]\ne \mathrm{\varnothing }$.

Sei $p(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$ und $q(x)=\sum _{i=0}^n{b}_i{x}^i$ mit $a_i,b_i\in K\text{ für }0\le i\le n$.

Für $\lambda ,\mu \in K$ gilt dann Vorlage:Einrücken Damit ist $K[x]$ bezüglich Addition und Skalar Multiplikation abgeschlossen und ist damit ein Unterraum von $Abb(K,K)$

Bemerkungen

• Das Nullpolynom ist definiert als

• Es gelten, wie Du leicht zeigen kannst, folgende Inklusionen von Unterräumen:

• Sei $G$ die Menge aller Polynome mit genauem Grad $n\in \mathbb{N}\text{; G}$ ist kein Unterraum von $K[x]$, denn sei

• Wir betrachten die Menge $U$ aller Polynome, die bei $1$ eine Nullstelle haben, und zeigen, dass $U$ ein Unterraum von $K_n(x)$ ist. Sei

• Die Menge $W=\{p\in K[x]|p(1)=1\}$ ist kein Unterraum, denn das Nullpolynom ist kein Element von $W$, da laut Definition $O(x)=0$ für alle $x\in K$ und damit insbesondere $0(1)=0$.