Formelsammlung Mathematik: Finanzmathematik

Abkürzungen

Zinsfuß: $p$

Zinssatz: $i=\frac{p}{100}$

Aufzinsungsfaktor: $r=1+i$

Abzinsungsfaktor (Diskontierungsfaktor): $v=\frac{1}{r}$

Vorschüssiger Zins (Diskontrate): $d=1-v$

Anfangskapital: $K_0$

Endkapital (nach $n$ Jahren): $K_n$

Zinsrechnung

Zinseszins

Dekursive Zinsen: $K_n=K_0\cdot r^n$

Antizipative Zinsen: $K_0=K_n\cdot v^n$

Gemischte Verzinsung

Dekursive gemischte Verzinsung: $K_n=K_0\cdot r^n\cdot (1+\frac{T}{360}\cdot i)$

Antizipative gemischte Verzinsung: $K_0=K_n\cdot v^n\cdot (1-\frac{T}{360}\cdot d)$

Unterjährige Verzinsung

Effektiver Zinssatz: $i$

Konformer Zinssatz: $i^{[m]}=\sqrt[m]{1+i}-1⟺{(1+i^{[m]})}^m=1+i$

Proportionaler Zinssatz: $i^{⟨m⟩}=\frac{i}{m}⟺1+m\cdot i^{⟨m⟩}=1+i$

Nomineller Zinssatz: $i^{(m)}=m\cdot i^{[m]}⟺{(1+\frac{i^{(m)}}{m})}^m=1+i$

Kontinuierlicher Zinssatz: $\varrho =\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{i}^{(m)}=i^{(\mathrm{\infty })}=\log (1+i)=\log (r)$

Hierbei gelten folgende Ungleichungen:     $i^{[m]}<i^{⟨m⟩}\varrho <i^{(m)}<i$

Annuität

Ein Kredit $K_0$ wird über $n$ Perioden hinweg mit dem Zinssatz $i$ verzinst

und durch die Annuität $A$ getilgt, so dass am Ende der Kassenbestand $K_n$ ist.

Die Fälligkeit $F\in \{0,1\}$ sei bei nachschüssiger Zahlweise $0$ und bei verschüssiger Zahlweise $1$.

Aus der Rekursion $K_{m+1}=K_m\cdot r-A\cdot r^F$ ergibt sich die Formel

$K_n=K_0\cdot r^n-A\cdot \frac{r^n-1}{i}\cdot r^F$ und damit $A=\frac{i}{r^F}\cdot \frac{K_0\cdot r^n-K_n}{r^n-1}$.

In Excel gibt es die Funktion RMZ (Regelmäßige Zahlung)

$\text{RMZ(Zins;Zzr;Bw;Zw;F)}=\frac{\text{Zins}}{(1+\text{Zins}{)}^{\text{F}}}\cdot \frac{\text{Bw}\cdot (1+\text{Zins}{)}^{\text{Zzr}}-\text{Zw}}{(1+\text{Zins}{)}^{\text{Zzr}}-1}$

Rentenrechnung

$E_n=R\cdot \frac{r^n-1}{i}$     (Endwert bei nachschüssiger Rente)

$E_n=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{i}$     (Endwert bei vorschüssiger Rente)

Intensität des Versicherungsschutzes

$I=\frac{E}{S}$, wobei $E$ die Entschädigung für den Schaden $S$ ist.

Abkürzungen

Anzahl der lebenden $x$-Jährigen: ${\ell }_x$

Anzahl der im Alter $x$ Gestorbenen: $d_x={\ell }_x-{\ell }_{x+1}$

Einjährige Überlebenswahrscheinlichkeit eines $x$-Jährigen: $p_x=\frac{{\ell }_{x+1}}{{\ell }_x}$

$n$-jährige Überlebenswahrscheinlichkeit eines $x$-Jährigen: ${}_n{p}_x=p_x\cdot p_{x+1}\cdots p_{x+n-1}=\frac{{\ell }_{x+n}}{{\ell }_x}$

Einjährige Sterbewahrscheinlichkeit eines $x$-Jährigen: $q_x=1-p_x=\frac{d_x}{{\ell }_x}$

$n$-jährige Sterbewahrscheinlichkeit eines $x$-Jährigen: ${}_n{q}_x=1-{}_n{p}_x$

Restlebenserwartung eines $x$-Jährigen: $e_x=\frac{{\ell }_x+{\ell }_{x+1}+\cdots +{\ell }_{\omega }}{{\ell }_x}-\frac{1}{2}$

Stationaritätsbedingung

${}_{n+k}{p}_x={}_k{p}_x\cdot {}_n{p}_{x+k}$

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Monatliche Sterblichkeit

$q_x^{\text{mon}}>\frac{q_x}{12}$

Kommutationswerte

Diskontierte Tote: $C_x=d_x\cdot v^{x+1}$	Diskontierte Lebende: $D_x={\ell }_x\cdot v^x$
Aufsummierte diskontierte Tote: $M_x=C_x+C_{x+1}+\cdots +C_{\omega }$	Aufsummierte diskontierte Lebende: $N_x=D_x+D_{x+1}+\cdots +D_{\omega }$
Doppelt aufsummierte diskontierte Tote: $R_x=M_x+M_{x+1}+\cdots +M_{\omega }$	Doppelt aufsummierte diskontierte Lebende: $S_x=N_x+N_{x+1}+\cdots +N_{\omega }$

Barwerte

Reine Erlebensfallversicherung auf n Jahre für einen x-Jährigen

${}_n{E}_x={}_n{p}_x\cdot v^n=\frac{D_{x+n}}{D_x}$

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Vorschüssige n-jährige Zeitrente mit m Jahren Aufschubzeit

${}_{m|}{\ddot{a}}_{\bar{n}|}=\sum _{k=0}^{n-1}{v}^{m+k}=\frac{v^m-v^{m+n}}{d}$

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Nachschüssige n-jährige Zeitrente mit m Jahren Aufschubzeit

${}_{m|}{a}_{\bar{n}|}=\sum _{k=1}^n{v}^{m+k}=\frac{v^m-v^{m+n}}{i}$

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Vorschüssige n-jährige Rente für einen x-Jährigen mit m Jahren Aufschubzeit

${}_{m|}{\ddot{a}}_{x,\bar{n}|}=\sum _{k=0}^{n-1}{}_{m+k}{p}_x\cdot v^{m+k}=\frac{N_{x+m}-N_{x+m+n}}{D_x}$

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Nachschüssige n-jährige Rente für einen x-Jährigen mit m Jahren Aufschubzeit

${}_{m|}{a}_{x,\bar{n}|}=\sum _{k=1}^n{}_{m+k}{p}_x\cdot v^{m+k}=\frac{N_{x+m+1}-N_{x+m+n+1}}{D_x}$

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n-jährige Risikolebensversicherung für einen x-Jährigen mit m Jahren Aufschubzeit

Gemeint ist, dass in den ersten $m$ Jahren kein Versicherungsschutz besteht,

und nicht, dass Hinterbliebene bei Eintritt des Versicherungsfalles m Jahre auf ihre Leistung warten müssen.

${}_{m|n}{A}_x=\sum _{k=0}^{n-1}{}_{m+k}{p}_x\cdot q_{x+m+k}\cdot v^{m+k+1}=\frac{M_{x+m}-M_{x+m+n}}{D_x}$

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n-jährige gemischte Versicherung für einen x-Jährigen

$A_{x,\bar{n}|}={}_{|n}{A}_x+{}_n{E}_x=\frac{M_x-M_{x+n}}{D_x}+\frac{D_{x+n}}{D_x}=1-(1-v)\cdot {\ddot{a}}_{x,\bar{n}|}$

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Linear steigende vorschüssige n-jährige Rente für einen x-Jährigen

$(I\ddot{a}{)}_{x,\bar{n}|}=\sum _{k=0}^{n-1}{}_k{p}_x\cdot (k+1)\cdot v^k=\frac{S_x-S_{x+n}-n\cdot N_{x+n}}{D_x}$

Linear steigende nachschüssige n-jährige Rente für einen x-Jährigen

$(Ia{)}_{x,\bar{n}|}=\sum _{k=1}^n{}_k{p}_x\cdot k\cdot v^k=\frac{S_{x+1}-S_{x+n+1}-n\cdot N_{x+n+1}}{D_x}$

Linear steigende n-jährige Risikolebensversicherung für einen x-Jährigen

${}_{|n}(IA{)}_x=\sum _{k=0}^{n-1}{}_k{p}_x\cdot q_{x+k}\cdot (k+1)\cdot v^{k+1}=\frac{R_x-R_{x+n}-n\cdot M_{x+n}}{D_x}$

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Deckungskapital

${}_m{V}_x^{(\text{re})}={}_m{V}_x^{(\text{pro})}$