Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Der Maßfortsetzungssatz

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Motivation

In der Maßtheorie wollen wir Mengen ein Maß zuordnen. Bei Teilmengen aus $ℝ$ sind dies Längen, bei Teilmengen aus ${ℝ}^2$ Flächen, bei Teilmengen aus ${ℝ}^3$ Volumina und bei Teilmengen aus ${ℝ}^p$ mit $p\ge 4$ verallgemeinerte Volumina. Dabei ordnen wir nur gewissen „guten“ Mengen ein Maß zu: das sind jene Mengen die wir durch Intervalle oder Rechtecke oder Quader "gut" überdecken können.

Wo stehen wir

Zuerst haben wir nur sehr primitive geometrische Figuren, wie Intervalle, Rechtecke oder (verallgemeinerte) Quader betrachtet und deren Eigenschaften zum Halbring verallgemeinert (mit $A,B\in H$ sind auch $\mathrm{\varnothing },A\cap B\in H$ und $A\mathrm{\setminus }B$ ist endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus $H$). Danach haben wir endliche disjunkte Vereinigungen von Halbringelementen eingeführt und zum Ring erklärt (mit $A,B\in R$ sind auch $\mathrm{\varnothing },A\cup B,A\mathrm{\setminus }B\in R$). Daraufhin haben wir unsere Flächenfunktion verallgemeinert zu einem additiven Inhalt bzw. sigma-additiven Prämaß, zuerst auf dem Halbring, dann auf dem Ring und deren Eigenschaften untersucht. Wir haben uns das System der "guten" Mengen definiert als Sigma-Algebra (dort gilt mit $A_n\in S$ sind auch $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n,A_n^C,\mathrm{\varnothing }\in S$) und sigma-additive Maße darauf betrachtet. Als beweistechnisches Hilfsmittel haben wir äußere Maße definiert und gezeigt, dass zu diesem eine Sigma-Algebra der "allgemein guten Mengen" existiert, sodass das äußere Maß auf der Sigma-Algebra ein Maß wird. Nun zeigen wir, dass die von dem Halbring erzeugte Borelsche Sigma-Algebra in der zu dem äußeren Maß gehörigen Sigma-Algebra enthalten ist und das erhaltene Maß eine Fortsetzung des Prämaßes ist.

Zur Übersicht der Maßheorie-Herleitung geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Allgemeine_Konstruktion_eines_Maßes

Die "guten Mengen" sind in den "allgemein guten Mengen" enthalten

Wie groß ist nun die im letzten Kapitel konstruierte Sigma-Algebra $S^{\ast }$? Zum Glück groß genug, dass sie die von $H$ erzeugte Borelsche Sigma-Algebra enthält!

Bis hier haben wir die Halbringeigenschaft und die Additivität von $m$ nicht benötigt: es ging nur ein $\mathrm{\varnothing }\in H;m(\mathrm{\varnothing })=0$ und $m(A_n)\ge 0$ für alle $A_n\in H$. Nun gehen die Halbringeigenschaften und die endliche Additivität von $m$ ein in den Beweis. Die Sigma-Additivität wird noch nicht benutzt.

m* ist eine Fortsetzung von m

Auf $S^{\ast }$ hatten wir im letzten Kapitel ein Maß $m^{\ast }$ gefunden, es war das äußere Maß. Wir zeigen nun, dass es auf $H$ mit unserem sigma-additiven Maß $m$ übereinstimmt, d.h. $m^{\ast }$ ist eine Fortsetzung auf $S(H)\subset S^{\ast }$.

Erst bei diesem Beweis geht die Sigma-Additivität von m ein.

Nullmengen

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