Mathematrix: Werkzeuge/ Abstellraum/ PSA/ Arbeiten mit Termen E1B

Definitionsmenge

Nehmen wir folgendes Beispiel:

$\frac{2x^2-x}{x^2+x}-\frac{2x}{x-1}-\frac{2(x+4)}{x^2-1}$

In den Nennern gibt es verschiedene Terme:

$x^2+xx-1x^2-1$

Alle diese Terme kann man als Produkte von verschiedenen Faktoren schreiben:

$x^2+x=x(x+1)x-1x^2-1=(x-1)(x+1)$

Alle diese Faktoren stehen im Nenner. Es gibt eine Regel in Mathematik, die besagt:

Die Division durch 0 ist nicht definierbar.

Warum das so ist, kann man in der höheren Mathematik zeigen. Der Nenner darf also nicht null sein. In welchen Fällen kann der erste, der zweite oder der dritte Nenner null sein? Dafür setzen wir diese Nenner gleich null!

$x(x+1)=0x-1=0(x-1)(x+1)=0$

Wann kann jetzt der erste Ausdruck null sein? Wenn zumindest einer der Faktoren null ist!

$x(x+1)=0\text{wenn}x=0\text{oder}(x+1)=0alsox=-1\text{ist.}$

In der gleichen Weise für die anderen zwei Nenner:

$x-1=0\text{wenn}x=1\text{ist.}$

$(x-1)(x+1)=0\text{wenn}x=1\text{oder}x=-1\text{ist.}$

Der Ausdruck $\frac{2x^2-x}{x^2+x}-\frac{2x}{x-1}-\frac{2(x+4)}{x^2-1}$ kann nur dann definiert werden, wenn x nicht 0, 1 oder -1 ist. x darf daher alle andere Zahlen sein außer -1, 0 und 1. All die Zahlen, die x sein darf, nennt man Definitionsmenge. Man sagt, dass die Definitionsmenge die Menge der reellen Zahlen außer -1,0 und 1 ist und schreibt:

$x\ne \{-1,0,1\}$ oder $𝔻=ℝ\setminus \{-1,0,1\}$

Die Definitionsmenge anzugeben ist bei jeder Aufgabe sehr wichtig. Nehmen wir das Beispiel am Anfang und setzen wir es gleich null:

$\frac{2x^2-x}{x^2+x}-\frac{2x}{x-1}-\frac{2(x+4)}{x^2-1}=0$

Vorlage:AnkerDie Lösungsschritte haben wir im vorherigen Absatz gelernt. Die Definitionsmenge ist (wie gerade eben gezeigt)  $𝔻=ℝ\setminus \{-1,0,1\}$. Wer die Lösungsschritte macht, kommt zum Ergebnis $x=-1$. Dieser Wert gehört aber nicht zur Definitionsmenge. x darf nicht -1 sein, weil in diesem Fall eine Division durch null vorkommt. Man sagt in diesem Fall, dass die Gleichung keine Lösung hat (und sie hat tatsächlich keine Lösung: -1 kann keine Lösung sein!) oder dass die Lösungsmenge die sogenannte leere Menge ist: $𝕃=\{\}$ oder $𝕃=\mathrm{\varnothing }$.

Bei manchen Aufgaben kann es sein, dass die allgemeine Definitionsmenge angegeben wird (z.B. die natürliche Zahlen). Wenn man das Beispiel mit den Tischen im Kapitel über lineare Gleichungssysteme betrachtet, kann man feststellen, dass die Antwort nur eine natürliche Zahl sein kann und dass etwas in der Angabe nicht stimmt, wenn das nicht der Fall ist.

Obwohl es nicht Thema diese Buches ist, erwähnen wir hier, dass die Definitionsmenge auch durch Ungleichungen angegeben werden kann. Das ist beispielsweise der Fall, wenn man einen Term in einer quadratischen Wurzel hat. Nehmen wir das folgende Beispiel:

$\sqrt{x-2}$

Wir behaupten hier, dass dieser Ausdruck nur dann definiert werden kann, wenn der Term unter der Wurzel positiv oder null (anders gesagt: nicht negativ) ist. Das liegt daran, dass die Gegenrechnung der Wurzel das Quadrat ist und das Quadrat von jeder beliebigen Zahl immer positiv ist (oder null, wenn die Zahl null ist). Bei positiven Zahlen ist diese Tatsache klar: + mal + wird + sein. Aber auch bei den negativen Zahlen ist es genauso: − mal − ist auch immer plus! Es gibt also keine Zahl, deren Quadrat negativ ist. In unserem Beispiel muss daher gelten:

$x-2\ge 0\text{also}x\ge 2$

Man sagt „x muss größer oder gleich null sein“.