Ing Mathematik: Folgen

Folgen stellen das Rückgrat der modernen Analysis und somit auch der Differential- und Intgeralrechnung dar. Auf Ihnen fußt die heute gängige Definition der reellen Zahlen und durch den Begriff der Konvergenz konnte die Infinitessimalrechnung auf ein mathematisch sauberes Gerüst gestellt werden. Wir werden uns in diesem Kapitel mit ihnen beschäftigen, verstehen was Konvergenz bedeutet und uns einige ihrer Eigenschaften anschauen.

Definition

Zur Notation: Spricht man von der Folge an sich, so schreibt normalerweise Klammern: $(a_n),(a_n{)}_n,(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}},...$. Mit einer solchen Notation ist die Menge der Folgenglieder gemeint; schreibt man nur $a_n$, so meint man tatsächlich das n-te Folgenglied.

Beispiele:

$a_n=n(a_n)=\{1,2,3,4,\dots \}$

Die Folge $n$

$a_n=\frac{1}{n}(a_n)=\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots \}$

Die Folge $\frac{1}{n}$

$a_n=(-1{)}^n(a_n)=\{-1,1,-1,1,\dots \}$

Die Folge $(-1{)}^n$

Beschränktheit und Monotonie

Diese Eigentschaften sind recht intuitiv. Sei $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine reelle Folge. Dann gelten folgende Definitionen.

Bemerkung: Jede Zahl, für die die genannten Aussagen gelten, ist eine Schranke. Es handelt sich nicht zwangsläufig um die kleinste obere, bzw. größte untere Schranke!

Beispiele: Die Folge $a_n=(-1{)}^n$ ist beschränkt mit der unteren Schranke $S_1=-1$ und der oberen Schranke $S_2=1$.

Eine beschränkte und eine unbeschränkte Folge mit oberer Schranke der beschränkten

Ing Mathematik: Vorlage:Satz

Beispiele:

$a_n=n$ ist monoton wachsend, sogar streng monoton.

$a_n=\frac{1}{n}$ ist streng monoton fallend

Konvergenzbegriff

Betrachten wir nun einige Folgen, um sie näher zu untersuchen.

Beispiel 1

Sei $a_n=n$. Diese Folge steigt mit größer werdendem $n$, sie ist wie wir festgestellt haben unbeschränkt. Lassen wir $n$ gegen Unendlich laufen, so geht auch $a_n$ gegen Unendlich.

Beispiel 2

Sei $a_n=(-1{)}^n$. Was passiert nun, wenn $n$ steigt? Die Folge ist zwar beschränkt, springt aberzwischen 1 und -1 hin und her, sie alterniert.

Beispiel 3

Sei $a_n=\frac{1}{n}$. Wir wissen bereits, dass $a_n$ mit zunehmenden $n$ fällt. Die Folge wird jedoch nicht kleiner als 0, denn sie ist nach unten beschränkt. Tatsächlich wird der Abstand des $n$-ten Folgenglieds zur Achse mit immer größer werdenem $n$ geringer, kein Folgenglied wird jedoch genau 0. Man sagt: Für $n$ gegen Unendlich geht $a_n$ gegen 0 oder $a_n$ konvergiert gegen 0.

Doch was heißt Konvergenz genau? Erst seit etwa hundert Jahren hat man eine logisch konsistente Theorie, mit der man die Konvergenz erfasst; davor war es - wie sich der werte Leser momentan wahrscheinlich auch denkt - ein schwammige Intuition im Sinne von „es nähert sich irgendwie beliebig an“. Wir wollen nun die Definition verstehen.

Veranschaulichen wir uns diese Definition. Sie besagt im Grunde Folgendes: Man bekommt eine beliebige positive Zahl ($\epsilon$) vorgegeben und legt sich um den Grenzwert einen sog. Epsilonschlauch. Existiert eine natürliche Zahl $N_{\epsilon }$ derart, dass alle Folgenglieder, die nach dem $N_{\epsilon }$-ten folgen, innerhalb dieses Schlauches liegen, dann konvergiert die Folge. Genial, oder? Dies muss allerdings für tatsächlich jedes noch so kleine $\epsilon$ gelten!

Wir betrachten nochmal unsere Beispiele und einige weitere.

• $a_n=n$ divergiert. Geht die Folge gegen Unendlich spricht man auch von der sog. bestimmten Divergenz gegen Unendlich.
• $a_n=(-1{)}^n$ divergiert.
• $a_n=\frac{1}{n}$ konvergiert mit Grenzwert 0.

Beispiel 4

Sei $a_n=3$. Diese Folge konvergiert nach unserer Definition, denn egal wie klein das $\epsilon$ gewählt wird, die Folgenglieder liegen nicht nur beliebig nah um 3 herum, sondern ab dem ersten Glied sogar auf der 3. Selbiges gilt für jede konstante Folge.

Beispiel 5

Die Folge $a_n=\frac{(-1{)}^n}{2n}$ ist eine Nullfolge.

Teilfolgen und Häufungspunkte

Aus der Menge der Bildpunkte einer Folge, kann man Teilmengen bilden. Zu dieser Teilmenge kann man nun eine Folge definieren (wenn auch nicht immer mit einer schönen „elementaren“ Formel), welche auf diese Punkte abbildet.

Beispiel 1

Sei $a_n=n$. Dann ist $b_k=a_{2k}=(2,4,8,12,14,\dots )$ eine Teilfolge von $a_n$

Beispiel 2

Sei $a_n=n$. Dann ist $b_k=a_{2k-1}=(1,3,5,7,9,\dots )$ eine Teilfolge von $a_n$

Beispiel 3

Sei $a_n=(-1{)}^n$. Dann ist $b_k=a_{2k}=(1,1,1,1,\dots )=1$ eine Teilfolge von $a_n$

Beispiel 3 zeigt uns, dass Teilfolgen von divergenten Folgen durchaus konvergieren können.

Die Folge aus Beispiel 3 hat also genau zwei Häufungspunkte 1 und -1. Dem größten und kleinsten Häufungspunkt gibt man spezielle Namen.

Kommen wir zu der Frage, die Ihnen nun sicherlich auf der Zunge brennt (oder auch nicht): Kann ich immer eine konvergente Teilfolge finden? Die Antwort liefert der folgende Satz:

Rechenregeln

Als Ingenieur sollte man rechnen, und zum rechnen gibt es Regeln. Die Wichtigsten betrachten wir nun.