Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Maße

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In der Maßtheorie wollen wir Mengen eine Länge, eine Fläche oder ein Volumen zuordnen. Unser Ziel ist, später die "guten" Mengen durch abzählbar viele Intervalle, Rechtecke oder Quader "minimal" zu überdecken und damit die Länge, die Fläche oder das Volumen der "guten" Menge zu bestimmen.

Wir hatten in den letzten Kapiteln die endlichen disjunkten Vereinigungen der Rechtecke betrachtet: diese bilden einen Ring (mit $A,B\in R$ sind auch $\mathrm{\varnothing },A\cup B,A\mathrm{\setminus }B\in R$). Ihnen konnten wir eindeutig eine Fläche zuordnen. Wenn ihre abzählbare Vereinigung wieder die Form einer endlichen disjunkten Vereinigung von Rechtecken hat und ihre Fläche die abzählbare Summe der Einzelflächen ist, in mathematischer Schreibweise

dann nannten wir die Mengenfunktion sigma-additiv. Wir haben gezeigt, dass die Sigma-Additivität (fast) gleich bedeutend ist zur Stetigkeit von oben oder von unten der Flächenfunktion.

Wir haben dann Sigma-Algebren eingeführt (mit $A_n\in S$ sind auch $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n,A_n^C,\mathrm{\varnothing }\in S$) als Mengensysteme der "guten" Mengen für die wir eine Flächenfunktion angeben können.

Maße sind nun sigma-additive, nicht-negative Funktionen von einer Sigma-Algebra nach $[0,\mathrm{\infty }]$. Und um diese dreht sich alles. Um uns an den Begriff zu gewöhnen, betrachten wir im Folgenden viele Beispiele.

Am Ende des Kapitels zeigen wir für Interessierte, dass es kein translationsinvariantes Maß mit $m([0,1])=1$ geben kann, das allen Teilmengen von $ℝ$ eine Länge zuordnen kann.

Eine Menge mit Maß Null interessiert uns nicht in der Integrationstheorie oder in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Deshalb gibt es für Eigenschaften, die nur außerhalb einer Menge vom Maß Null gelten einen Namen

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