Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Dynkinsysteme

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In der Maßtheorie wollen wir Mengen eine Länge, eine Fläche oder ein Volumen zuordnen. Unser Ziel ist, später die "guten" Mengen durch abzählbar viele Intervalle, Rechtecke oder Quader "minimal" zu überdecken und damit die Länge, die Fläche oder das Volumen der "guten" Menge zu bestimmen.

Wir hatten in den letzten Kapiteln die endlichen disjunkten Vereinigungen der Rechtecke betrachtet: diese bilden einen Ring (mit $A,B\in R$ sind auch $\mathrm{\varnothing },A\cup B,A\mathrm{\setminus }B\in R$). Ihnen konnten wir eindeutig eine Fläche zuordnen. Wenn ihre abzählbare Vereinigung wieder die Form einer endlichen disjunkten Vereinigung von Rechtecken hat und ihre Fläche die abzählbare Summe der Einzelflächen ist, in mathematischer Schreibweise

dann nannten wir die Mengenfunktion sigma-additiv. Wir haben gezeigt, dass die Sigma-Additivität (fast) gleich bedeutend ist zur Stetigkeit von oben oder von unten der Flächenfunktion.

Wir haben uns das System der "guten" Mengen definiert als Sigma-Algebra (dort gilt mit $A_n\in S$ sind auch $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n,A_n^C,\mathrm{\varnothing }\in S$) und sigma-additive Maße darauf betrachtet.

Im Kapitel über sigma-additive Funktionen hatten wir in den Beweisen für die Eigenschaften jeweils disjunkte Vereinigungen konstruiert, um die (Sigma-)Additivität von $m$ benutzen zu können. Jetzt betrachten wir ein Mengensystem, das automatisch nur disjunkte (!) abzählbare Vereinigungen enthält, sodass die Sigma-Additivität der Flächenfunktion direkt anwendbar wird.

Das benötigen wir regelmäßig für Beweise, insbesondere für den Maßerweiterungssatz im nächsten Kapitel.

Erneut suchen wir das kleinste Dynkinsystem, dazu benötigen wir wieder den folgenden Satz.

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe

Das Dynkinsystem ist angepasst an die sigma-additiven Funktionen. Es stellt aber eine starke Einschränkung dar, nur disjunkte Vereinigungen zuzulassen. Gilt aber zudem die Eigenschaft, dass Schnitte wieder im Dynkinsystem sind können wir ausrechnen, dass auch beliebige, nicht-disjunkte Vereinigungen im Dynkinsystem sind. Dieses ist dann eine Sigma-Algebra. Deshalb führen wir den folgenden Begriff ein:

Es genügt sogar zu fordern, dass nur das Erzeugendensystem durchschnittsstabil ist, um aus dem Dynkinsystem eine Sigma-Algebra zu machen! Und unser später betrachtetes Erzeugendensytsem eines Ringes ist durchschnittsstabil.

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