Formelsammlung Mathematik: Lineare Differenzengleichungen

↑ Differenzengleichungen

Gleichungen mit konstanten Koeffizienten

Matrix-Methode

Eine homogene lineare Differenzengleichung m-ter Ordnung lässt als homogenes lineares System erster Ordnung schreiben. Bei einer inhomogenen linearen Differenzengleichung ist dies unter Verwendung homogener Koordinaten ebenfalls möglich.

Differenzengleichung	System erster Ordnung	Vektor
$x_n=a{x}_{n-1}+b$	$\left[\begin{array}{c}{x}_n\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ 1\end{array}\right]$	$v_n=\left[\begin{array}{c}{x}_n\\ 1\end{array}\right]$
$x_n=a{x}_{n-1}+b{x}_{n-2}$	$\left[\begin{array}{c}{x}_n\\ x_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ x_{n-2}\end{array}\right]$	$v_n=\left[\begin{array}{c}{x}_n\\ x_{n-1}\end{array}\right]$
$x_n=a{x}_{n-1}+b{x}_{n-2}+c$	$\left[\begin{array}{c}{x}_n\\ x_{n-1}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ x_{n-2}\\ 1\end{array}\right]$	$v_n=\left[\begin{array}{c}{x}_n\\ x_{n-1}\\ 1\end{array}\right]$
$x_n=a{x}_{n-1}+b{x}_{n-2}+c{x}_{n-3}$	$\left[\begin{array}{c}{x}_n\\ x_{n-1}\\ x_{n-2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ x_{n-2}\\ x_{n-3}\end{array}\right]$	$v_n=\left[\begin{array}{c}{x}_n\\ x_{n-1}\\ x_{n-2}\end{array}\right]$

Jede lineare Differenzengleichung lässt sich wie in der Tabelle beschrieben in die Form

$v_n=A{v}_{n-1}$

bringen, wobei die Matrix $A$ nicht von n abhängig ist, sofern die Koeffizienten konstant sind.

Die Lösung ist

$v_n=A^n{v}_0.$

Die Matrixpotenz $A^n$ lässt sich mittels Diagonalisierung/Jordan-Normalform oder dem Satz von Cayley-Hamilton bestimmen.

Bei der Diagonalisierung/Jordan-Normalform mit $A=TJ{T}^{-1}$ gilt $A^n=T{J}^n{T}^{-1}$, wobei $J$ die Diagonalmatrix ist oder zumindest aus Jordanblöcken besteht. Die Bestimmung von $J^n$ wird im Abschnitt Matrixfunktionen erläutert.

Nach dem Satz von Cayley-Hamilton gilt z. B. für eine 2×2-Matrix $A$ mit Eigenwerten ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ die Formel

$A^n=pA+qE$

mit

$\begin{array}{cc}{\lambda }_1^n& =p{\lambda }_1+q,\\ {\lambda }_2^n& =p{\lambda }_2+q\end{array}$

bzw.

$\begin{array}{cc}p& =\frac{{\lambda }_2^n-{\lambda }_1^n}{{\lambda }_2-{\lambda }_1},\\ q& ={\lambda }_1^n-p{\lambda }_1.\end{array}$

Im Fall ${\lambda }_1={\lambda }_2$ gilt $p=n{\lambda }_1^{n-1}$.

Die allgemeine Theorie hierzu wird im Abschnitt Matrixfunktionen beschrieben.