Formelsammlung Mathematik: Quadratische Gleichungen

Allgemein

Definition

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Lösung

Für jede quadratische Gleichung gibt es wegen a≠0 die Äquivalenzumformung

$a{x}^2+bx+c=0⟺x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=0.$

Somit lässt sich jede quadratische Gleichung über p:=b/a und q:=c/a in die Normalform bringen.

Die Zahl D = p²−4q heißt Diskriminante. Es werden drei Fälle unterschieden.

D>0	D=0	D<0
Es gibt zwei Lösungen: $x_1=-\frac{p}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{D},$ $x_2=-\frac{p}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{D}.$	Es gibt eine Lösung: $x_1=-\frac{p}{2},$ $x_2=x_1.$	Es gibt keine reelle Lösung. Aber es gibt zwei komplexe Lösungen: $x_1=-\frac{p}{2}-\frac{\mathrm{i}}{2}\sqrt{-D},$ $x_2=-\frac{p}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}\sqrt{-D}.$ Die Lösungen sind zueinander konjugiert: $\overline{x_2}=x_1.$

Kompakte Lösungsformel:

$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2}{)}^2-q}=-\frac{p}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{p^2-4q}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Lösungen als Nullstellen

Quadratische Funktion f(x) := x²−4x+2. Die quadratische Gleichung f(x)=0 besitzt die Lösungen 2±√2, deren Näherungswerte dem Plot entnommen werden können.

Die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung lässt sich als Menge der Nullstellen einer quadratischen Funktion beschreiben.

Für die quadratische Funktion

$f(x):=a{x}^2+bx+c$

ist $f(x)=0$ die zugehörige quadratische Gleichung.

Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen von $f$.

Spezialfälle

Kein absoluter Term

Bei einer quadratischen Gleichung der Form

ax² + bx = 0.

lässt sich die linke Seite faktorisieren. Man erhält (ax+b)x = 0. Es gilt

(ax+b)x = 0 genau dann, wenn ax+b = 0 oder x = 0.

Damit ergeben sich zwei Lösungen:

x₁ = 0,

x₂ = −b/a.

Kein linearer Term

Eine quadratische Gleichung der Form

ax² + c = 0

lässt sich in die Form

x² = −c/a

bringen. Es werden drei Fälle unterschieden.

c/a < 0	c=0	c/a > 0
$x_1=-\sqrt{-c/a},$ $x_2=\sqrt{-c/a}.$	x1=x2=0	Es gibt keine reelle Lösung. Es gibt aber zwei komplexe Lösungen: $x_1=-\mathrm{i}\sqrt{c/a},$ $x_2=\mathrm{i}\sqrt{c/a}.$

Komplexe Koeffizienten

Quadratische Funktion f(z) := z²−4z+5. Die Linien sind Isolinien konstanten Betrags. Die Lösungen von f(z)=0 sind 2+i und 2−i. Die eine Lösung ist eine komplexe Konjugation der anderen Lösung.

Quadratische Funktion f(z) := z²−(4+2i)z+5. Die Lösungen von f(z)=0 sind nicht mehr komplex konjugiert zueinander, was damit zusammehängt, dass der Koeffizient −(4+2i) einen Imaginärteil besitzt.

Betrachte

$a{z}^2+bz+c=0$

mit komplexen Zahlen z, a, b, c und a≠0.

Die Gleichung lässt sich wie im reellen normieren, und man bildet wieder die Diskriminante

$D=p^2-4q$.

Jede quadratische Gleichung besitzt zwei komplexe Lösungen, die im Fall D=0 zu einer doppelten Lösung zusammenfallen.

Die Lösungen sind

$z_1=-\frac{p}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{D}$

und

$z_2=-\frac{p}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{D},$

wobei

$\sqrt{D}:=\sqrt{|D|}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\arg (D)/2}$

der Hauptwert der komplexen Wurzel von D ist.

Die komplexe Wurzel von D ist die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung $w^2=D$, das ist gerade $\pm \sqrt{D}$.