Formelsammlung Mathematik: Stetigkeit

Definition

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Das Einsetzen der Definition des Grenzwertes enthält eine kleine technische Schwierigkeit: Da isolierte Punkte zugelassen sind, ist $x_n\ne p$ nicht mehr notwendig.

Komposita stetiger Funktionen

Bemerkung: Wenn g Nullstellen besitzt, aber in der Nähe von x₀ keine vorhanden sind, kann der Definitionsbereich eingeschränkt werden.

Sätze über stetige Funktionen

Zwischenwertsatz

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Der Satz lässt sich wesentlich kompakter formulieren, wenn die folgene Notation eingeführt wird, die symmetrisch unter Vertauschung der Intervallgrenzen ist:

$[y_1,y_2{]}_s:=[\min \{y_1,y_2\},\max \{y_1,y_2\}].$

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:tbox In Worten: Eine stetige Funktion $f:[a,b]\to ℝ$ nimmt jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ an.

Bemerkung: »es gibt ein« heißt »es gibt mindestens ein«, und »jeder Wert wird angenommen« heißt »jeder Wert wird mindestens einmal angenommen«.

Schließlich gibt es noch eine abstrakte Formulierung. Formelsammlung Mathematik: Vorlage:tbox

Extremwertsatz

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:tbox Abstrakte Variante:

Ist $D\subseteq ℝ$ eine kompakte Menge und $f:D\to ℝ$ stetig, dann ist das Bild $f(D)$ auch kompakt.

Streng monotone Funktionen

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:tbox Bemerkung: Das Intervall $I$ ist beliebig, es kann links und rechts jeweils offen, geschlossen oder unbeschränkt sein.