Formelsammlung Mathematik: Grenzwert einer Funktion

Funktionen in einer Variablen

Hilfsbegriffe

Häufungspunkte

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Ein Punkt p ist genau dann ein Häufungspunkt von M, wenn $p\in \overline{M\setminus \{p\}}$ gilt.

Für den Abschluss $\bar{M}$ gilt:

$\overline{(a,b)}=\overline{[a,b)}=\overline{(a,b]}=\overline{[a,b]}=[a,b].$

Auch für $p\in ℝ$ gilt:

$\overline{(a,b)\setminus \{p\}}=\overline{[a,b]\setminus \{p\}}=[a,b].$

Die Operation $\bar{M}$ fügt der Menge M ihren Rand hinzu. Die Operation

$L(M):=\{p\mid p\in \overline{M\setminus \{p\}}\}$

tut das selbe, entfernt dabei aber alle isolierten Punkte. Isolierte Punkte, das sind solche Punkte von M, die eine hinreichend kleine Epsilon-Umgebung besitzen, in der sie allein sind.

Definition

Definition mit Hilfe von Folgen

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Die Definitionen sind zu den Epsilon-Delta-Definitionen äquivalent.

Regel von de l'Hospital

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:tbox Bemerkung: Die Grenzwerte müssen einseitg betrachtet werden, da die Funktionen außerhalb von (a, b) nicht definiert sind.

Funktionen in mehreren Variablen

Definition

Definition mit Hilfe von Folgen

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Bemerkungen:

1. Der Punkt p muss nicht unbedingt in X liegen.
2. Der Grenzwert L muss nicht unbedingt zur Bildmenge von $f$ gehören.
3. Manchmal ist auch $f(p)\ne L$.