Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung

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Wo stehen wir

Wir hatten die Transportgleichnung betrachtet und daraufhin die Eigenschaften der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung untersucht. Nun gehen wir zur Wärmeleitungsgleichung über, sie lautet

Sie heißt homogen für $f=0$, sonst inhomogen.

Wir können eine Anfangswärmeverteilung $g$ zum Zeitpunkt $t=0$ und Wärmequellen und -senken $f$ vorgeben und die Gleichung sagt uns, wie sich die Wärmeverteilung in Raum und Zeit entwickelt. In diesem Kapitel betrachten wir die Fundamentallösung und konstruieren daraus die Lösung für den Ganzraumfall - ganz ähnlich wie bei der Laplace-Gleichung.

Herleitung der Fundamentallösung

Wir wollen eine einfache Lösung der Wärmeleitungsgleichung finden. Wir haben schon bewiesen, dass der Laplace-Operator rotationssymmetrisch ist, Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Fundamentallösung_der_Laplacegleichung#Der Laplaceoperator_ist_rotationssymmetrisch

Deshalb betrachten wir ein $u(t,x)=u(t,|x|)$.

Mit $u(t,x)$ ist sicher auch $u(c^{2}t,cx)$ eine Lösung für $c>0$, denn mit der Kettenregel gilt

Wählen wir $c=\sqrt{t}$, so erhalten wir eine Differentialgleichung, die nur noch von einer Variablen abhängig ist. Wir fügen zudem noch einen Vorfaktor $t^{-n/2}$ hinzu, der sich als praktisch erweisen wird, d.h. wir suchen ein $w:{ℝ}^{+}\to ℝ$ mit

Wegen der Rotationssysmmetrie gilt, siehe Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Fundamentallösung_der_Laplacegleichung#Die_Fundamentallösung_der_Laplace-Gleichung

mit der inneren Ableitung

Die Zeitableitung bestimmt sich zu

Damit erfüllt $w$ die folgende Differentialgleichung nach Multiplikation mit $t^{n/2+1}$

die sich gut lösen lässt, indem man sie umschreibt

Die Konstante wählen wir so, dass das Integral auf Eins normiert ist, wie wir im nächsten Abschnitt zeigen.

Die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung

Wir finden wie bei der Laplace-Gleichung eine Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung für $U={ℝ}^n$, aus der wir durch Faltung Lösungen auf dem Ganzraum und $t>0$ konstruieren für gegebene $g$ und $f\ne 0$.

Duhamelsches Prinzip

Das ergibt die

Allgemeine Lösungsformel im Ganzraum

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