Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Greensche Funktion

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Wo stehen wir

Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung der Laplacegleichung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen gezeigt und das Maximumprinzip harmonischer Funktionen eingeführt. Wir hatten daraufhin die Harnacksche Ungleichung hergeleitet und bewiesen, dass harmonische Funktionen unendlich oft differenzierbar sind. Wir hatten dann Schranken für die Ableitungen harmonischer Funktionen gezeigt und mit diesen bewiesen, dass harmonische Funktionen analytisch sind, sich also lokal durch ihre Tayorreihe darstellen lassen.

In diesem Kapitel suchen wir eine Lösungsformel für das Dirichletproblem der Poissongleichung, d.h. für

Dafür definieren wir uns die Greensche Funktion $G$ aus der Fundamentallösung $P$ und den vielen Lösungen des Randwertproblems für alle $x\in U$

Damit erhalten wir eine Darstellungsformel für die Lösung

Wir haben dabei das Problem der Lösung übergewälzt auf $G$ und schauen uns in den folgenden Kapiteln zwei spezielle Mengen $U$ an: Für den Halbraum und die Kugel können wir dann explizite (!) Lösungsformeln für $f=0$ angeben, die Beweise sind allerdings technisch langwierig. Die Lösungen finden direkt Anwendung z.B. in der Physik in der Elektrostatik.

Symmetrie der Greenschen Funktion

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