Mathe für Nicht-Freaks: Prinzip der linearen Fortsetzung

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}} Das Prinzip der linearen Fortsetzung besagt, dass jede lineare Abbildung genau durch die Bilder der Basisvektoren bestimmt ist. Es liefert eine alternative Möglichkeit eine lineare Abbildung zu charakterisieren.

Statt Prinzip der linearen Fortsetzung sagt man auch Prinzip der linearen Ausdehnung.

Motivation

Bisher haben wir lineare Abbildungen meist durch eine Abbildungsvorschrift angegeben. Wir suchen nun nach weiteren Möglichkeiten, eine lineare Abbildung darzustellen.

Wir müssen für jeden Vektor unseres Startvektorraums die Information bereitstellen, auf welchen Vektor des Zielvektorraums er abgebildet werden soll. Nun stellt sich die Frage, wie wir unsere Startvektoren charakterisieren können und wie wir ihre Bilder unter der Abbildung notieren möchten.

Eine Möglichkeit zur Darstellung eines Vektors ist diejenige bezüglich einer Basis. Dazu müssen wir eine Linearkombination des Vektors in den Basisvektoren angeben. Ist $V$ ein $K$-Vektorraum mit der Basis $\{b_1,\dots ,b_n\}$ und $v\in V$, so gibt es eindeutig bestimmte Koeffizienten ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in K$ so, dass $v=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{b}_i$ gilt.

Nun könnten wir versuchen, die Werte der linearen Abbildung $f:V\to W$ in einen anderen $K$-Vektorraum $W$ nur für die Basisvektoren von $V$ anzugeben. Es seien also $f(b_1)=:w_1,\dots ,f(b_n)=:w_n\in W$ festgelegt. Dann können wir auch $f(v)$ berechnen, wenn wir fordern, dass $f$ linear ist. Es gilt dann nämlich: Vorlage:Einrücken

Wir haben also nur die Bilder der Vektoren einer Basis von $V$ unter der Abbildung $f$ notiert und konnten für jeden beliebigen Vektor $v\in V$ sein Bild unter $f$ berechnen. Dass wir auf diese Weise zuverlässig lineare Abbildungen notieren können, garantiert uns der nächste Satz. Er ist damit eine wichtige Grundlage dafür, lineare Abbildungen als Matrizen darzustellen.

Eigenschaften der linearen Fortsetzung

Im Folgenden sind $V$ und $W$ zwei $K$-Vektorräume, $\{b_1,\dots ,b_n\}$ eine Basis von $V$ und $w_1,\dots ,w_n\in W$ sind Vektoren in $W$. Sei $f:V\to W$ eine lineare Abbildung mit $f(b_i)=w_i$ für alle $i\in \{1,\dots ,n\}$. Wegen des obigen Satzes existiert eine solche lineare Abbildung und diese ist sogar eindeutig.

Aufgaben

<section begin=konstruktion_lin_Abb/> Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe <section end=konstruktion_lin_Abb/> {{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}