Ing Mathematik: Absolutbetrag

Der Absolutbetrag einer Zahl $x\in ℝ$ ist definiert als

$|x|=\{\begin{array}{c}x,\text{falls}x\ge 0\\ -x,\text{falls}x<0\end{array}$

Das bedeutet, dass |x| immer größer oder gleich Null ist.

Der Absolutbetrag einer Zahl $z\in ℂ$ mit $z=a+jb$ und $a,b\in ℝ$ ist

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}(|z|\in ℝ)$

Regeln

• $|x|=|-x|$

• $|x-y|=|y-x|$

• $|xy|=|x||y|$

• Für $y\ne 0$ gilt: $\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}$

• $|x|=\sqrt{x^2}$

• Dreiecksungleichung: $\{\begin{array}{c}|x+y|\le |x|+|y|\\ |x-y|\ge |x|-|y|\end{array}$

Übungen

• Bestimmen Sie alle $x\in ℝ$, für die $|x-5|<|x+2|$ gilt.
• Bestimmen Sie alle $x,y\in ℝ$, für die $|x+y|\le 1$ gilt.