Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften der Exponentialfunktion

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Eine Ungleichung

Graph der Exponentialfunktion $y=e^x$ und der Geraden $y=x+1$.

Ein nützlicher Grenzwert

Nun betrachten wir den Grenzwert $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{z\to 0}\frac{\exp (z)-1}{z}=1$. Dieser ist an vielen Stellen nützlich zum Beispiel bei der Berechnung der Ableitung der e-Funktion.

Um den Grenzwert zu beweisen, brauchen wir zuerst eine Abschätzung: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz Mit dieser Abschätzung können wir nun unseren Grenzwert beweisen:

Funktionalgleichung Vorlage:Anker

In diesem Abschnitt zeigen wir den folgenden

Stetigkeit der Exponentialfunktion

In diesem Kapitel beweisen wir die Stetigkeit der Exponentialfunktion Vorlage:Einrücken Dazu zeigen wir zunächst, dass die Funktion $\exp$ an der Stelle $0$ stetig ist. Anschließend beweisen wir die Stetigkeit in allen $x\in ℂ$. Dabei benutzen wir die Stetigkeit in $0$ und die Regel $\exp (x+y)=\exp (x)\cdot \exp (y)$ für alle $x,y\in ℂ$.

Bijektivität

Wir haben schon gesehen, dass wir die Exponentialfunktion aufgrund der Positivität als eine Funktion $\exp :ℝ\to {ℝ}^{+}$ in die positiven reellen Zahlen auffassen können. Wir beweisen jetzt die Bijektivität dieser Funktion. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Äquivalenz der Reihen- und Folgendarstellung für komplexe Argumente

Wir haben schon gezeigt, dass für alle $z\in ℂ$ folgende Gleichung gilt: Vorlage:Einrücken Mit den Mitteln, die wir in diesem Kapitel erarbeitet haben, können wir nun einen anderen Beweis für diese Gleichung angeben. Für den Beweis nutzen wir die Funktionalgleichung, die Monotonie der Exponentialfunktion für reelle Argumente und den Grenzwert $\underset{z\to 0}{\lim }\frac{\exp (z)-1}{z}=1$.

Ableitung

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