Formelsammlung Mathematik: Koordinatensysteme

Polarkoordinaten

Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten	Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten
$x = r \cos φ,$ $y = r \sin φ .$	$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}},$ $φ = s (y) \arccos (\frac{x}{r})$ mit $s (y) : = {\begin{matrix} + 1 & wenn y \geq 0, \\ - 1 & wenn y < 0 . \end{matrix}$

Jacobi-Matrix:

J = \frac{\partial (x, y)}{\partial (r, φ)} = [\begin{matrix} \cos φ & - r \sin φ \\ \sin φ & r \cos φ \end{matrix}] .

Metrischer Tensor:

g = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & r^{2} \end{matrix}] .

Jacobi-Determinante:

\det J = r .

Orthogonalbasis:

𝐞_{r} = [\begin{matrix} \cos φ \\ \sin φ \end{matrix}], 𝐞_{φ} = [\begin{matrix} - r \sin φ \\ r \cos φ \end{matrix}] .

Orthonormalbasis:

{\hat{𝐞}}_{r} = 𝐞_{r}, {\hat{𝐞}}_{φ} = \frac{1}{r} 𝐞_{φ} .

Gradient:

grad f = \frac{\partial f}{\partial r} {\hat{𝐞}}_{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial φ} {\hat{𝐞}}_{φ} .

Umrechnung von Zylinderkoordinaten in kartesische Koordinaten	Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten
$x = ρ \cos φ,$ $y = ρ \sin φ,$ $z = z .$	$ρ = \sqrt{x^{2} + y^{2}},$ $φ = s (y) \arccos (\frac{x}{ρ})$ mit $s (y) : = {\begin{matrix} + 1 & wenn y \geq 0, \\ - 1 & wenn y < 0 . \end{matrix}$

Jacobi-Matrix:

g = \frac{\partial (x, y, z)}{\partial (ρ, φ, z)} = [\begin{matrix} \cos φ & - ρ \sin φ & 0 \\ \sin φ & ρ \cos φ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] .

Metrischer Tensor:

g = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & ρ^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] .

Jacobi-Determinante:

\det J = ρ .

Orthogonalbasis:

𝐞_{ρ} = [\begin{matrix} \cos φ \\ \sin φ \\ 0 \end{matrix}], 𝐞_{φ} = [\begin{matrix} - ρ \sin φ \\ ρ \cos φ \\ 0 \end{matrix}], 𝐞_{z} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] .

Orthonormalbasis:

{\hat{𝐞}}_{ρ} = 𝐞_{ρ}, {\hat{𝐞}}_{φ} = \frac{1}{ρ} 𝐞_{φ}, {\hat{𝐞}}_{z} = 𝐞_{z} .

Gradient:

grad f = \frac{\partial f}{\partial ρ} {\hat{𝐞}}_{ρ} + \frac{1}{ρ} \frac{\partial f}{\partial φ} {\hat{𝐞}}_{φ} + \frac{\partial f}{\partial z} {\hat{𝐞}}_{z} .

Umrechnung von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten	Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten
$x = r \sin θ \cos φ,$ $y = r \sin θ \sin φ,$ $z = r \cos θ .$ Über $θ = π / 2 - β$ ergibt sich $\sin θ = \cos β$ und $\cos θ = \sin β$ , und somit $x = r \cos β \cos φ,$ $y = r \cos β \sin φ,$ $z = r \sin β .$ Der Winkel $β$ geht wie die geografische Breite vom Äquator aus nach Norden oder Süden, der Polarwinkel $θ$ kommt dagegen vom Nordpol herab. Der Azimutwinkel $φ$ fährt wie die geografische Länge auf dem Äquator entlang.	$r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}},$ $θ = \arccos (\frac{z}{r}),$ $φ = s (y) \arccos (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})$ mit $s (y) : = {\begin{matrix} + 1 & wenn y \geq 0, \\ - 1 & wenn y < 0 . \end{matrix}$

Jacobi-Matrix:

J = \frac{\partial (x, y, z)}{\partial (r, φ, θ)} = [\begin{matrix} \sin θ \cos φ & - r \sin θ \sin φ & r \cos θ \cos φ \\ \sin θ \sin φ & r \sin θ \cos φ & r \cos θ \sin φ \\ \cos θ & 0 & - r \sin θ \end{matrix}] .

Metrischer Tensor:

g = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & (r \sin θ)^{2} & 0 \\ 0 & 0 & r^{2} \end{matrix}] .

Jacobi-Determinante:

\det J = r^{2} \sin θ .

Orthogonalbasis:

𝐞_{ρ} = [\begin{matrix} \sin θ \cos φ \\ \sin θ \sin φ \\ \cos θ \end{matrix}], 𝐞_{φ} = [\begin{matrix} - r \sin θ \sin φ \\ r \sin θ \cos φ \\ 0 \end{matrix}], 𝐞_{θ} = [\begin{matrix} r \cos θ \cos φ \\ r \cos θ \sin φ \\ - r \sin θ \end{matrix}] .

Orthonormalbasis:

{\hat{𝐞}}_{r} = 𝐞_{r}, {\hat{𝐞}}_{φ} = \frac{1}{r \sin θ} 𝐞_{φ}, {\hat{𝐞}}_{θ} = \frac{1}{r} 𝐞_{θ} .

Gradient:

grad f = \frac{\partial f}{\partial r} {\hat{𝐞}}_{r} + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial f}{\partial φ} {\hat{𝐞}}_{φ} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial θ} {\hat{𝐞}}_{θ} .