Formelsammlung Mathematik: Funktionen

Definition

Formale Definition. Eine Funktion ist ein Tupel $f:=(G,D,Z)$, wobei gilt:

1.	$f$ ist eine Relation	$G\subseteq D\times Z$
2.	$f$ ist linkstotal	$\mathrm{\forall }x\in D\mathrm{\exists }y\in Z:(x,y)\in G$
3.	$f$ ist rechtseindeutig	$\mathrm{\forall }x\in D\mathrm{\forall }(x,y_1),(x,y_2)\in G:(x,y_1)=(x,y_2)$

$G$	Graph
$D$	Definitionsbereich
$Z$	Zielmenge
$f(x)$	$y=f(x)$ für $(x,y)\in G$

Bildmenge

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Es gilt:

1. $f(A_1\cup A_2)=f(A_1)\cup f(A_2),$
2. $f(A_1\cap A_2)\subseteq f(A_1)\cap f(A_2),$
3. $f\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)=\bigcup _{i\in I}f(A_i),$
4. $I\ne \{\}⟹f\left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)\subseteq \bigcap _{i\in I}f(A_i),$
5. $A_1\subseteq A_2⟹f(A_1)\subseteq f(A_2),$
6. $f(\{\})=\{\},$
7. $(g\circ f)(A)=g(f(A)).$

Urbild

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Es gilt:

1. $f^{-1}(B_1\cup B_2)=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2),$
2. $f^{-1}(B_1\cap B_2)=f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2),$
3. $f^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}{B}_i\right)=\bigcup _{i\in I}{f}^{-1}(B_i),$
4. $I\ne \{\}⟹f^{-1}\left(\bigcap _{i\in I}{B}_i\right)=\bigcap _{i\in I}{f}^{-1}(B_i),$
5. $B_1\subseteq B_2⟹f^{-1}(B_1)\subseteq f^{-1}(B_2),$
6. $f^{-1}(\{\})=\{\},$
7. $f^{-1}(Z)=D,$
8. $f^{-1}(B_1\setminus B_2)=f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2),$
9. $f^{-1}(Z\setminus B)=D\setminus f^{-1}(B),$
10. $(g\circ f{)}^{-1}(B)=f^{-1}(g^{-1}(B)),$
11. $(f{|}_A{)}^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B).$

Injektionen

Kommutiert dieses Diagramm, so ist $g\circ f={\mathrm{id}}_A$. Somit muss $f$ injektiv sein.

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox

• Eine Funktion ist genau dann injektiv, wenn sie eine Linksinverse besitzt. Formelsammlung Mathematik: Vorlage:BRef
• Eine Injektion kann mehrere unterschiedliche Linksinverse haben.

Surjektionen

Kommutiert dieses Diagramm, so ist $f\circ g={\mathrm{id}}_B$. Somit muss $f$ surjektiv sein.

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox

• Eine Funktion ist genau dann surjektiv, wenn sie eine Rechtsinverse besitzt. Die Teilaussage »Eine Surjektion besitzt mindestens eine Rechtsinverse.« erfordert aber das Auswahlaxiom.
• Eine Surjektion kann mehrere unterschiedliche Rechtsinverse besitzen.

Bijektionen

Kommutiert dieses Diagramm, so ist $g\circ f={\mathrm{id}}_A$ und $f\circ g={\mathrm{id}}_B$. Somit muss $f$ bijektiv und $f^{-1}=g$ sein.

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox

Komposition

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Es gilt das Assoziativgesetz:

$h\circ g\circ f:=h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f.$

Es gilt:

1. Sind $f,g$ injektiv, so ist $g\circ f$ injektiv.
2. Sind $f,g$ surjektiv, so ist $g\circ f$ surjektiv.
3. Sind $f,g$ bijektiv, so ist $g\circ f$ bijektiv.
4. Ist $g\circ f$ injektiv, so ist $f$ injektiv.
5. Ist $g\circ f$ surjektiv, so ist $g$ surjektiv.
6. Ist $g\circ f$ bijektiv, so ist $f$ injektiv und $g$ surjektiv.

Iteration

Ausnahmen in der Notation gibt es bei den Winkelfunktionen:

${\sin }^{2}x=\sin (x{)}^2=(\sin x{)}^2$ anstelle von $\sin (\sin (x))$,

${\cos }^{2}x=\cos (x{)}^2=(\cos x{)}^2$ anstelle von $\cos (\cos (x))$,

usw.

Einschränkung

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Ist $\iota :M\to D$ die Inklusion, so gilt:

$f{|}_M=f\circ \iota .$