Ing Mathematik: Lineare Gleichungssysteme

Lineares Gleichungssystem

Ein Gleichungssystem der Form

$\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\dots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$

nennt man lineares Gleichungssystem, wobei $a_{ij}\in ℝ$ die Koeffizienten heißen und $x_j$ die Unbekannten sind.

Man kann dies auch als

$A𝐱=𝐛$

oder

$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j=b_i,i=1\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{s}m$

anschreiben.

Gilt $A𝐱=𝐨$, so nennt man das Gleichungssystem homogen $(𝐛=𝐨)$, andernfalls inhomogen $(𝐛\ne 𝐨)$.

A ist die Koeffizientenmatrix. Als erweiterte Koeffizientenmatrix bezeichnet man die Matrix $(A⋮𝐛)$

Beispiel:

$\begin{array}{c}5x_1-2x_2+7x_3=6\\ -3x_1+7x_2+8x_n=0\\ 4x_1+4x_2+4x_n=1\end{array}$

Koeffizientenmatrix:

$\left(\begin{array}{ccc}5& -2& 7\\ -3& 7& 8\\ 4& 4& 4\end{array}\right)$

Erweiterte Koeffizientenmatrix:

$\left(\begin{array}{cccc}5& -2& 7& 6\\ -3& 7& 8& 0\\ 4& 4& 4& 1\end{array}\right)$

Bestimmtheit eines linearen Gleichungssystems

• m>n: überbestimmtes Gleichungssystem
• m=n: quadratisches Gleichungssystem
• m<n: unterbestimmtes Gleichungssystem

Zeilennormalform

Eine $(m\times n)$-Matrix ist in Zeilennormalform, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• Unterhalb der Diagonalen dürfen nur Nullen stehen.
• Das erste Zeilenelement ungleich Null ist Eins.
• Ist $a_{ij}$ das erste Zeilenelement ungleich Null (d.h eine Eins), so gilt dass der Spaltenvektor dieser Spalte j ein Einheitsvektor ist.

Beispiel für eine Matrix in Zeilennormalform:

$A=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 5& 0\\ 0& 0& 1& 2& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Jede Matrix läßt sich durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilennormalform bringen.

Elementare Zeilenumformungen sind:

• Zeilenvertauschung
• Multiplikation einer Zeile mit einem Koeffizienten $k\ne 0$
• Addition des k-fachen einer anderen Zeile.

Der Rang einer Matrix A ist gleich der Anzahl der nicht verschwindenden Zeilen in der Zeilennormalform von A.

Gauß-Jordan-Algorithmus

Wikipedia: Gauß-Jordan-Algorithmus

• 
  Carl Friedrich Gauß (1777-1855) deutscher Mathematiker
• 
  Wilhelm Jordan (1842-1899) deutscher Geodät

Übung: Löse mittels Gauß-Algorithmus

$\begin{array}{cc}5x+2y-z& =2\\ 7x-3y+2z& =0\\ x+4y+z& =1\end{array}$

Nachtrag: Inverse Matrizen

Beispiel: Gegeben sei die Matrix $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 0\\ 0& 2& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$. Gesucht ist die inverse Matrix $A^{-1}$

$\left(\begin{array}{ccccccc}1& 3& 0& ⋮& 1& 0& 0\\ 0& 2& 1& ⋮& 0& 1& 0\\ 1& 1& 1& ⋮& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$z_3:z_3-z_1$

$\left(\begin{array}{ccccccc}1& 3& 0& ⋮& 1& 0& 0\\ 0& 2& 1& ⋮& 0& 1& 0\\ 0& -2& 1& ⋮& -1& 0& 1\end{array}\right)$

$z_3:z_3+z_2$

$\left(\begin{array}{ccccccc}1& 3& 0& ⋮& 1& 0& 0\\ 0& 2& 1& ⋮& 0& 1& 0\\ 0& 0& 2& ⋮& -1& 1& 1\end{array}\right)$

$z_3:z_3/2,z_2:z_2/2$

$\left(\begin{array}{ccccccc}1& 3& 0& ⋮& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1/2& ⋮& 0& 1/2& 0\\ 0& 0& 1& ⋮& -1/2& 1/2& 1/2\end{array}\right)$

$z_2:z_2-z_3/2$

$\left(\begin{array}{ccccccc}1& 3& 0& ⋮& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& ⋮& 1/4& 1/4& -1/4\\ 0& 0& 1& ⋮& -1/2& 1/2& 1/2\end{array}\right)$

$z_1:z_1-3z_2$

$\left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& ⋮& 1/4& -3/4& 3/4\\ 0& 1& 0& ⋮& 1/4& 1/4& -1/4\\ 0& 0& 1& ⋮& -1/2& 1/2& 1/2\end{array}\right)$

$\Rightarrow$

$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1/4& -3/4& 3/4\\ 1/4& 1/4& -1/4\\ -1/2& 1/2& 1/2\end{array}\right)$

Probe: $A{A}^{-1}=E$

Übung: Berechne die inverse Matrix $B^{-1}$ von

$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 5\\ 2& 1& 1\\ 3& 2& 7\end{array}\right)$

Lösbarkeitskriterien

Ein lineares Gleichungssystem $A𝐱=𝐛$ ist

• nicht lösbar, wenn $\mathrm{R}\mathrm{g}A<Rg(A,𝐛)$
• lösbar, wenn $\mathrm{R}\mathrm{g}A=Rg(A,𝐛)$

Ist das Gleichungssystem lösbar, so besitzt das Gleichungssystem

• genau eine Lösung, wenn $\mathrm{R}\mathrm{g}A=\mathrm{R}\mathrm{g}(A,𝐛)=n$.
• eine (n-k)-parametrige Lösungschar, wenn $\mathrm{R}\mathrm{g}A=\mathrm{R}\mathrm{g}(A,𝐛)=k$.

Daraus folgt auch:

• Nur quadratische oder überbestimmte lineare Gleichungssysteme können eindeutig lösbar sein.
• Lineare homogene Gleichungssysteme sind immer lösbar, da x=o immer eine mögliche Lösung ist.

Cramersche Regel

Wikipedia: Cramersche Regel

• 
  Gabriel Cramer (1704-1752) schweizer Mathematiker

Übung: Lösen Sie mittels der Cramerschen Regel das Gleichungssystem

$\begin{array}{cc}5x+2y& =3\\ 3x-y& =5\end{array}$