Mathe für Nicht-Freaks: Beweise für lineare Abbildungen führen

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}} Wir werden hier eine Beweisstruktur angeben, die zeigt, wie du immer die Linearität einer Abbildung zeigen kannst.

Allgemeine Vorgehensweise

Wiederholung: Definition der linearen Abbildung

Wir erinnern uns daran, dass eine lineare Abbildung (oder auch Homomorphismus) eine strukturerhaltende Abbildung von einem $K$-Vektorraum $V$ in einen $K$-Vektorraum $W$ ist. Das bedeutet, für die Abbildung $f:V\to W$ müssen folgende zwei Bedingungen gelten:

1. $f$ muss additiv sein, d.h. für $v,w\in V$ gilt: $f(v+w)=f(v)+f(w)$
2. $f$ muss homogen sein, d.h. für $v\in V,\lambda \in K$ gilt: $f(\lambda \cdot v)=\lambda \cdot f(v)$

Bei einer linearen Abbildung ist es also egal, ob wir zuerst die Addition bzw. Skalarmultiplikation im Vektorraum $V$ durchführen und dann die Summe in den Vektorraum $W$ abbilden, oder zuerst die Vektoren $v,w$ in den Vektorraum $W$ abbilden und dort die Addition bzw. Skalarmultiplikation mit den Bildern der Abbildung durchführen.

Beweisstrukur für eine lineare Abbildung

Der Beweis, dass eine Abbildung linear ist, kann nach folgender Struktur durchgeführt werden. Zunächst gehen wir davon aus, dass eine Abbildung $f:V\to W$ zwischen Vektorräumen gegeben ist. Das heißt, $V$ und $W$ sind $K$-Vektorräume und $f$ ist wohldefiniert. Dann ist für die Linearität von $f$ zu zeigen:

1. Additivität: $\mathrm{\forall }v,w\in V:f(v+w)=f(v)+f(w)$
2. Homogenität: $\mathrm{\forall }v\in V\mathrm{\forall }\lambda \in K:f(\lambda \cdot v)=\lambda \cdot f(v)$

Die Nullabbildung

Die Nullabbildung ist diejenige Abbildung, die alles auf die Null abbildet. Im Beispiel der Nullabbildung von $ℝ$ nach ${ℝ}^3$ sieht diese Abbildung folgendermaßen aus:

Ein Beispiel im ${ℝ}^2$

Wir betrachten ein Beispiel für eine lineare Abbildung von ${ℝ}^2$ nach ${ℝ}^2$: <section begin=aufgabe_linearität_R^2 /> Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe <section end=aufgabe_linearität_R^2 />

Eine lineare Abbildung im Folgenvektorraum

Als nächstes betrachten wir den Raum aller Folgen reeller Zahlen. Dieser ist nicht endlich-dimensional, denn es gibt nicht endlich viele Folgen, die diesen Folgenraum erzeugen. Er ist aber ein Vektorraum, wie wir im Kapitel über Folgenräume gezeigt haben. <section begin=folgenraum_abbildung_linear /> Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe<section end=folgenraum_abbildung_linear />

Abstraktes Beispiel

Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit etwas abstrakteren Vektoren. Seien $M,N$ beliebige Mengen; $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Wir betrachten nun die Menge aller Abbildungen der Menge $M$ in den Vektorraum $V$ und bezeichnen diese Menge mit $\text{Abb}(M,V)$. Weiterhin betrachten wir auch die Menge aller Abbildungen der Menge $N$ in den Vektorraum $V$ und bezeichnen diese Menge mit $\text{Abb}(N,V)$. Die Addition zweier Abbildungen definieren wir für $f,g\in \text{Abb}(M,V)$ durch

Die skalare Multiplikation definieren wir für $\lambda \in K$ durch

Analog definieren wir die Addition und die skalare Multiplikation für $\text{Abb}(N,V)$.

Wir zeigen nun, dass die Präkomposition mit einer Abbildung $t\in \text{Abb}(N,M)$ eine lineare Abbildung von $\text{Abb}(M,V)$ nach $\text{Abb}(N,V)$ ist. <section begin=präkomposition_linear /> Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe <section end=präkomposition_linear /> {{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}