Ing Mathematik: Determinanten

Determinante

Jeder quadratischen $(n\times n)$-Matrix

$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$

kann man eine Zahl zuordnen, die Determinate

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A=|A|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$

Unterdeterminante

Streicht man aus einer Matrix A die i-te Zeile und die j-te Spalte, so ist dieser reduzierten Matrix $A_{ij}$ die Unterdeterminate $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{A}_{ij}$ zugeordnet.

Beispiel:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{A}_{13}=\left|\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right|$

Adjunkte

Die Adjunkte $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}{A}_{ij}$ ist die mit ${(-1)}^{i+j}$ multiplizierte Unterdeterminante $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{A}_{ij}$.

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}{A}_{ij}={(-1)}^{i+j}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{A}_{ji}$

Berechnung von Determinanten

Für $(1\times 1)$-Matrizen gilt: $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A=a_{11}$

Für $(2\times 2)$-Matrizen gilt: $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$

Regel von Sarrus

Zur Berechnung der Determinante einer $(3\times 3)$-Matrix kann man sich der Regel von Sarrus bedienen:

$\det (A)=a_{\text{11}}{a}_{\text{22}}{a}_{\text{33}}+a_{\text{12}}{a}_{\text{23}}{a}_{\text{31}}+a_{\text{13}}{a}_{\text{21}}{a}_{\text{32}}-a_{\text{13}}{a}_{\text{22}}{a}_{\text{31}}-a_{\text{11}}{a}_{\text{23}}{a}_{\text{32}}-a_{\text{12}}{a}_{\text{21}}{a}_{\text{33}}$

Wikipedia: Regel von Sarrus

Laplacescher Entwicklungssatz

Allgemein gilt für die Berechnung von Determinanten der Laplacesche Entwicklungssatz:

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{A}_{ij}i=\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{.}$

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{A}_{ij}j=\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{.}$

Beispiel:

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 3\\ 5& 9& 7\\ -1& 3& 2\end{array}\right)$

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A=\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 3\\ 5& 9& 7\\ -1& 3& 2\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{cc}9& 7\\ 3& 2\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{cc}5& 7\\ -1& 2\end{array}\right|+3\left|\begin{array}{cc}5& 9\\ -1& 3\end{array}\right|=2(9\cdot 2-7\cdot 3)-0+3(5\cdot 3+9\cdot 1)=66$

Übung: Berechnen sie möglichst vorteilhaft die Determinante der Matrix

$A=\left(\begin{array}{cccc}2& 5& 3& 7\\ 5& 0& 9& 0\\ -1& 3& 4& 0\\ 0& 9& -2& 0\end{array}\right)$

Einige Determinantensätze

• Eine Determinante bleibt ungeändert:
  • Bei einer Spiegelung an der Hauptdiagonalen: $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{A}^T$.
  • Wenn zu einer Zeile/Spalte ein Vielfaches einer anderen Zeile/Spalte addiert oder subtrahiert wird.

• Eine Determinante wird Null:
  • Wenn alle Elemente einer Zeile/Spalte Null sind.
  • Wenn zwei Zeilenvektoren/Spaltenvektoren linear abhängig sind.

• Eine Determinante ändert ihr Vorzeichen, wenn zwei Zeilen/Spalten vertauscht werden.

• Multiplikation einer Derminante mit einer Zahl: $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(kA)=k^n\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A$.

• Das Produkt zweier Determinanten ist wieder eine Determinante. $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}B=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(AB)$.

Inverse Matrix

$A^{-1}$ heißt inverse Matrix zu A. Es gilt $A{A}^{-1}=E$.

$A^{-1}=\left({\alpha }_{ij}\right)\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}{\alpha }_{ij}=\frac{1}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A}(-1{)}^{i+j}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{A}_{ji}$

Eine $(n\times n)$-Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn sie regulär ist: $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A\ne 0$, dies ist äquivalent zu Rg(A)=n.

Eine Matrix A mit $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A=0$ nennt man singulär.

Übung: Ist die Matrix $\left(\begin{array}{cccc}2& 5& 3& 7\\ 5& 0& 9& 0\\ -1& 3& 4& 0\\ 0& 9& -2& 0\end{array}\right)$ invertierbar?

Regeln

${\left(A^{-1}\right)}^{-1}=A$

${\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

${\left(A^T\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^T$

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A}$

Praktische Bestimmung der inversen Matrix

• Mittels Gauß-Jordan-Algorithmus: Siehe Nachtrag in Lineare Gleichungssysteme

Orthogonale Matrizen

Eine $(n\times n)$-Matrix A heißt orthogonal, wenn gilt:

• alle Zeilenvektoren seien Einheitsvektoren: $\Vert z_i\Vert =1;1\le i\le n$

und

• alle Zeilenvektoren stehen senkrecht aufeinander: $z_i\cdot z_j=0;i\ne j$

$A{A}^T=\left(\begin{array}{c}{z}_1\\ ⋮\\ z_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{z}_1& \cdots & z_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccccc}{z}_1^2& & z_1{z}_2& & \cdots & & z_1{z}_n\\ z_2{z}_1& & z_2^2& & \cdots & & z_2{z}_n\\ ⋮& & ⋮& & \ddots & & ⋮\\ z_n{z}_1& & z_n{z}_2& & \cdots & & z_n^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccccc}1& & 0& & \cdots & & 0\\ 0& & 1& & \cdots & & 0\\ ⋮& & ⋮& & \ddots & & ⋮\\ 0& & 0& & \cdots & & 1\end{array}\right)=E$

Die orthogonale Matrix A ist regulär:

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(A{A}^T\right)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{A}^T=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A{)}^2=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}E=1$

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A=\pm 1$

Orthogonalitätsbedingung:

$A{A}^T=E=A{A}^{-1}$

$A^{-1}=A^T$

Nachtrag zu Vektorprodukt

Das Vektorprodukt zweier Vektoren $𝐚,𝐛\in {ℝ}^3$ kann aus folgender Gleichung entwickelt werden

$𝐚\times 𝐛=\left|\begin{array}{ccc}{𝐞}_1& {𝐞}_2& {𝐞}_3\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|$

Nachtrag zu Spatprodukt

Das Spatprodukt dreier Vektoren $𝐚,𝐛,𝐜\in {ℝ}^3$ kann aus folgender Gleichung entwickelt werden

$(𝐚,𝐛,𝐜)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|$

Übungen

Übung 1: Berechnen sie die Determinante der Matrix $A=\left(\begin{array}{cc}x& x^2\\ x-1& x^3-5\end{array}\right)$

Übung 2: Berechnen sie die Determinante der Matrix

$A=\left(\begin{array}{cccc}5& 9& -4& 1\\ -1& 3& 0& 4\\ 0& 1& 0& 1\\ -5& 1& -1& 8\end{array}\right)$

Übung 3: Für welche $k\in ℝ$ ist die Matrix

$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 7& k+1\\ 1& k-1& 3\\ k& 0& 3\end{array}\right)$

regulär?

Übung 4: Berechnen sie die inverse Matrix $A^{-1}$ zu

$A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& 9\end{array}\right)$

Übung 5: Ist die Matrix

$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right)$

orthogonal?