Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Elfeck

Elfeck (Hendekagon)

Das regelmäßige Elfeck ist als klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal nicht darstellbar. Erlaubt man jedoch ein zusätzliches Hilfsmittel für die Teilung des 90-Grad-Winkels in elf gleich große Winkel, z. B. die archimedische Spirale oder die Quadratrix des Hippias, führt dies zu einer exakten Seitenlänge $a$ des Elfecks.

Näherungskonstruktionen hierfür sind selbstverständlich machbar, es sind aber nur wenige in der einschlägigen Literatur zu finden. Die bekanntesten ist wohl die Näherungskonstruktion nach Dürer aus dem Jahr 1525.

Exakte Konstruktion bei gegebenem Umkreis mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

1. Zeichne einen Kreis mit dem Radius r = 1 (Einheitskreis).
2. Konstruiere über dem Radius Vorlage:Overline das Quadrat OA₁BC.
3. Bestimme die Quadratrix von Hippias mit der Parameterkurve $\gamma :(0,\frac{\pi }{2})\to {ℝ}^2$:

$\gamma (t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)$

mit

$\begin{array}{cc}x(t)& =\{\begin{array}{cc}t\cot \left(\frac{\pi t}{2\cdot 1}\right)& ,0\le t\le 1\end{array}\\ y(t)& =t\end{array}$

4. Zeichne eine Halbgerade ab dem Mittelpunkt O.
5. Trage auf der Halbgeraden ab O elf gleiche Abstände ab. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Teilungspunkte bis 4 und der Abschlußpunkt 11 dargestellt.

6. Verbinde den Abschlußpunkt 11 mit C.
7. Ziehe eine Parallele zu Vorlage:Overline ab dem Teilungspunkt 4 bis Vorlage:Overline, damit ergibt sich der Punkt 4'.
8. Ziehe eine Parallele zu Vorlage:Overline ab dem Punkt 4' bis zur Quadratrix, damit ergibt sich der Punkt D.
9. Ziehe eine gerade Linie vom Mittelpunkt O durch D bis zur Kreislinie, damit ergibt sich der zweite Eckpunkt A₂ des entstehenden Elfecks sowie der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) μ.
10. Verbinde den Punkt A₁ mit A₂, die Länge der Strecke $\overline{A_1{A}_2}$ ist die exakte Seitenlänge $a$ des regelmäßigen Elfecks.
11. Trage auf dem Umkreis ab dem Eckpunkt A₂ die Strecke Vorlage:Overline neunmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.

Näherungskonstruktion bei gegebenem Umkreis

1. Es sei ein Kreis um $M$ mit beliebigem Radius $\overline{AM}$.
2. Halbgerade durch $A$ und $M$ ergibt Schnittpunkt $E_1$.
3. Halbgerade senkrecht zu $\overline{A{E}_1}$ durch $M$ ergibt Schnittpunkte $B$ und $C$.
4. Strecken $\overline{AD}=\frac{1}{10}\cdot \overline{AM}=\overline{AF}=\overline{FG}=\overline{GH}=\overline{HI}$ eintragen.
5. Kreis um $M$ durch $D$ ergibt Schnittpunkte $K$ und $L$.
6. Strecke $\overline{DJ}=\overline{JA}$, Kreis um $M$ durch $J$.
7. Bestimmen der Funktionspunkte:

Es beginnt mit Punkt $N$, dessen Abstand zu Punkt $L$ ist gleich der Strecke $\overline{MJ}$. In der Darstellung beschrieben als $|LN|=\overline{MJ}$. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von $O$ als $|DO|=\overline{DF}$ bis $Z$ als $|DZ|=\overline{MD}$ (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

8. Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab $Z$ durch $W$ bis sie die äußere Kreislinie in $A_1$ schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt $A_1$ durch $V$ bis sie wieder die äußere Kreislinie in $B_1$ schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von $C_1$ bis $J_1$ (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

9. Die Verbindung von $J_1$ mit $N$ schneidet den innersten Kreis in $E_2$ als zweiten Eckpunkt des entstehenden Elfecks.
10. Trage auf den Umkreis ab Eckpunkt $E_2$ die Strecke $\overline{E_1{E}_2}$, sie entspricht der Seitenlänge $a$ des Elfecks, neunmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.

• Somit ergibt sich:

Vorlage:Blau

Ergebnis

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

• Konstruierte Seitenlänge des Elfecks in GeoGebra (Anzeige max. 15 Nachkommastellen) $a=0,563465113682859[LE]$
• Seitenlänge des Elfecks $a_{SOLL}=r\cdot 2\cdot \sin \left(\frac{180^{\circ }}{11}\right)=0,563465113682859...[LE]$
• Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge:

Bis zu den max. angezeigten 15 Nachkommastellen ist der absolute Fehler $F_a=a-a_{SOLL}=0,0[LE]$

• Konstruierter Zentriwinkel des Elfecks in GeoGebra (Anzeige signifikante 13 Nachkommastellen) $\mu =32,7272727272727^{\circ }$
• Zentriwinkel des Elfecks ${\mu }_{SOLL}=\left(\frac{360^{\circ }}{11}\right)=32,\stackrel{\circ }{\overline{72}}$
• Absoluter Winkelfehler vom konstruierten Zentriwinkel:

Bis zu den angezeigten signifikanten 13 Nachkommastellen ist der absoluter Fehler $F_{\mu }=\mu -{\mu }_{SOLL}=0^{\circ }$

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen

Bei einem Umkreisradius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 55 min), wäre der absolute Fehler der konstruierten Seitenlänge < 1 mm.

Bei gegebener Seitenlänge

Ist die Seitenlänge a' eines Elfecks bei gegebenem Umkreis bereits bestimmt, kann daraus mithilfe der sogenannten zentrischen Streckung ein Elfeck mit gegebener Seitenlänge a (in der nebenstehenden Zeichnung grün) konstruiert werden.

1. Ist die gegebene Seitenlänge a länger als a', so verlängere zuerst beide Winkelschenkel des Zenriwinkels $\mu$.
2. Konstruiere die Winkelhalbierende wh des Winkels $\mu$.
3. Bestimme den Punkt M auf wh mit beliebiger Position.
4. Zeichne eine Parallele zu a' = Vorlage:Overline durch M.
5. Ziehe einen Halbkreis um M mit Radius r = a/2, die Schnittpunkte sind E und F.
6. Zeichne je eine Parallele zu wh ab E und F bis zu dem betreffenden Winkelschenkel, die Schnittpunkte sind die beiden ersten Eckpunkte A₁ und A₂ des gesuchten Elfecks.
7. Ziehe den somit gefundenen Umkreis um O mit dem Radius r_u = Vorlage:Overline.
8. Trage auf den Umkreis, ab dem Eckpunkt A₂, die Seitenlänge a neunmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.