Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum/ Banachscher Fixpunktsatz

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Vertiefung für Fortgeschrittene: Der Banachsche Fixpunktsatz in $ℝ$

Mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums können wir nun ein praktisches Konvergenzkriterium, den Banachschen Fixpunktsatz herleiten. Für diesen benötigen wir zunächst die folgenden Definitionen:

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Nun kann eine Abbildung beliebig viele Fixpunkte haben. So hat beispielsweise $f:[0,1]\to [0,1],f(x)=x$ jedes $x*\in [0,1]$ als Fixpunkt. Dies kann allerdings nicht der Fall sein, wenn wir die Voraussetzungen an $f$ verschärfen: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Nun gilt der folgende Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Die Kontraktion benötigen wir nun als Voraussetzung für den Fixpunktsatz:

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