Mathe für Nicht-Freaks: Homomorphiesatz und Isomorphiesatz

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Wir setzen uns jetzt mit einem wichtigen Isomorphismus auseinander. Sei $L:V\to W$ eine lineare Abbildung zwischen den $K$-Vektorräumen $V$ und $W$, dann sind $V/\ker L$ und $\mathrm{im}(L)$ isomorph, also $V/\ker L\cong \mathrm{im}(L)$.

Motivation

• Wir betrachten eine lineare Abbildung (Homomorphismus) f zwischen zwei K-Vektorräumen V und W. Wir wollen diese Abbildung so abändern, dass f ein Isomorphismus wird.
• Betrachten wir also eine lineare Abbildung $f:V\to W$. Diese können wir sehr leicht zu einem Epimorphismus machen, in dem wir den Wertebereich von f einschränken auf das Bild von f.
• Wir betrachten den Homomorphismus $f:V\to im(f)$. Damit wird jedes Element dieser Teilmenge von W von der Abbildung f getroffen und sie ist natürlicherweise surjektiv und damit ein Epimorphismus, denn das Bild ist ein Unterraum von W.
• Für die Abbildung f sind die von f nicht getroffenen Elemente von W nicht notwendig, um f zu beschreiben. Wir können sie quasi vergessen.
• Um f injektiv zu machen, muss Elemente $v\in V$ auf genau ein $w=f(v)\in W$ abgebildet werden. Da f aber nicht notwendigerweise injektiv ist, wird es mindestens $v_1;v_2\in V;v_1\ne v_2$ geben mit $f(v_1)=f(v_2)$.
• Da f ein Homomorphismus ist, folgt daraus, dass $f(v_1-v_2)=0_W$ sein muss. Also liegt $(v_1-v_2)\in ker(f)$.
• Wir suchen zunächst einen Vektorraum, der ker(f) wie ein Element behandelt. Das ist der Vektorraum $V/ker(f)$.
• Wir bezeichnen die Elemente von $V/ker(f)$ mit $\bar{v}=v+ker(f)$
• Die Abbildung $\tilde{f}:V/ker(f)\to W;\tilde{f}(\bar{v})\mapsto f(v)$ ist injektiv.
• Damit haben wir mit dem natürlichen Epimorphismus $\pi :V\to V/ker(f);v\mapsto \bar{v}$ eine Abbildung $\tilde{f}$ konstruiert, für die gilt $\tilde{f}\circ \pi =f$.
• Wenn wir nun noch den Wertebereich von f auf das Bild von f reduzieren, habe wir mit $\tilde{f}$ den sogenannten induzierten Isomorphismus von f.

Herangehensweise

Konstruktion der Surjektivität und Injektivität

Sei $L:V\to W$ eine lineare Abbildung zwischen den $K$-Vektorräumen $V$ und $W$. Wir möchten $L$ so konstruieren, dass es eine bijektive lineare Abbildung wird.

Eine Abbildung surjektiv zu machen ist einfach, man verändert den Wertebereich von $W$ zu $\mathrm{im}(L)$, denn dort wird jedes Element von einem $L(v);v\in V$ getroffen, d.h. es gibt zu jedem $w\in \mathrm{im(W)}$ ein $v\in V$ derart dass $w=L(v)$.

Um die Abbildung $L:V\to W$ injektiv zu machen, versuchen wir alle Elemente, die auf das gleiche Element (hier speziell das Nullelement $0_W$) abgebildet werden, zusammenzufassen. Das ist etwas komplizierter. Wenn $L$ nicht injektiv ist (was im Allgemeinen der Fall sein wird), gibt es $v_1,v_2\in V$ mit $v_1\ne v_2$ und $L(v_1)=L(v_2)$.

Damit gilt

Das ist gerade die Differenz zwischen $v_1$ und $v_2$. Diese möchten wir gerne Null setzen, so dass die beiden Vektoren als gleich betrachtet werden können, das heißt, zu einem Vektor zusammengefasst werden können.

Dafür sind die Nebenklassen, die in einem vorherigen Artikel erklärt wurden, nützlich. Betrachten wir den Vektorraum $V/\ker L$. Es fällt auf, dass in diesem Vektorraum für alle $w\in \ker L$ gilt,

Also ist auch Vorlage:Einrücken

Nutzen wir nun die Addition in $V/\ker L$, sehen wir

Damit haben wir es geschafft, die beiden Vektoren gleichzusetzen und in einem Element zusammenzufassen.

Dass die Abbildung $\tilde{L}:V/\ker L\to W$ mit $\tilde{L}(v+\ker L)=L(v)$ wirklich injektiv ist, zeigen wir später.

Das kommutierende Diagramm

Um von einem $v\in V$ zu $L(v)$ zu kommen gibt es nun zwei Wege. Entweder wir benutzen die Abbildung $L$ oder wir gehen den Weg über $\tilde{L}$, was bedeutet, wir fassen zuerst die Vektoren, die das gleiche Bild haben zusammen und benutzen anschließend $\tilde{L}$, um zu $L(v)$ zu kommen.

Anschaulich bedeutet das wir bilden jedes Element $v$ von unserem Vektorraum $V$ auf die affinen Unterräume $v+\ker L$ ab. Man kann es sich auch als Abbildung von den einzelnen Vektoren aus $V$ auf Zusammenfassungen (Nebenklassen) von Vektoren vorstellen. So als würde ein Vektor auf eine Menge von Vektoren abgebildet werden. Diese haben alle das gleiche Bild. Also ist es genau die Abbildung, die wir benutzt haben, um die Vektoren zusammenzufassen.

Formal ausgedrückt:

Diese Abbildung $\pi$ wird die natürliche Projektion genannt.

Wenn wir nun für ein beliebiges $v\in V$ das Bild $L(v)$ bestimmen möchten, haben wir zwei Möglichkeiten:

1. Wir gehen über $L$ direkt zu $L(v)$.
2. Wir benutzen erst $\pi$, um zu $v+\ker L$ zu kommen, und bilden anschließend mit $\tilde{L}$ den Vektor $v+\ker L$ auf $L(v)$ ab.

Das kommutierende Diagramm mit der linearen Abbildung L, der natürlichen Abbildung Pi und L-tilde.

Der Homomorphiesatz für Vektorräume

Wir erklären und beweisen in diesem Kapitel den Homomorphiesatz für Vektorräume.

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz Aus diesem Satz können wir nun direkt folgern, dass $V/\ker L\cong \mathrm{im}(L)$, also eine Isomorphie zwischen $V/\ker L$ und $\mathrm{im}(L)$. Das sehen wir im nächsten Satz.

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