Pseudoprimzahlen: Geschichte

Geschichte der Pseudoprimzahl

1640

Der französische Amateurmathematiker Pierre de Fermat schreibt Mersenne, dass wenn $p$ eine Primzahl ist, $p$ die Zahl $2^n-2$ teilt. Fermat schrieb Mersenne auch, dass ein Beweis dieses Satzes zu lang wäre, als dass er ihm ihn zusenden könnte. Dieser Satz ist als kleiner fermatscher Satz bekannt geworden.

1819

Sarrus findet mit der Zahl $341=11\cdot 31$ ein Beispiel, dass es auch zusammengesetzte Zahlen gibt, die den kleinen fermatschen Satz erfüllen. Diese Zahl wird auch Sarrus-Zahl genannt, und ist die kleinste zusammengesetzte Zahl, die den kleinen fermatschen Satz zur Basis 2 erfüllt.

Mitte 19. Jahrhundert

Der chinesische Mathematiker Li Shanlan (1811–1882) glaubte, für natürliche Zahlen $n$, dass wenn $2\cdot (2^{n-1}-1)$ durch $n$ teilbar ist, dieses $n$ eine Primzahl sein muss. Ausmultipliziert erhält man die Formel $2^n-2$.

1885

Der böhmische Mathematiker Václav Šimerka veröffentlicht in Zbytky z arithmetické posloupnosti die ersten 7 Carmichael-Zahlen (diese Bezeichnung wurde erst einige Jahre später vergeben); die Veröffentlichung blieb weitgehend unbekannt, nachfolgende Entdeckungen dieser Zahlen können also als unabhängig angesehen werden.

1899

Der deutsche Mathematiker Alwin Reinhold Korselt stellt das nach ihm benannte korseltsche Kriterium auf:

1. Es existieren ungerade, quadratfreie natürliche Zahlen $n$, so dass $a^n-a$ für alle natürlichen Zahlen $a$ ein Vielfaches von $n$ ist
2. Für alle Primteiler $p$ von $n$ gilt, dass $p-1$ die Zahl $n-1$ teilt.

1903

Der Mathematiker Malo, und ein Jahr später der Mathematiker Cipolla finden jeweils einen Beweis für die Existenz von unendlich vielen Pseudoprimzahlen.

1910

Robert Daniel Carmichael findet mit 561 als erster eine Zahl, die dem korseltschen Kriterium genügt. Nach ihm werden Zahlen dieser Art Carmichael-Zahlen genannt. 561 ist die kleinste Carmichael-Zahl.

1936

D.H Lehmer findet eine simple Methode, beliebig viele fermatsche Pseudoprimzahlen zu erzeugen:

Man nehme eine natürliche Zahl $k$ mit $k\ge 5$. Daraus ermittele man zwei natürliche Zahlen $p$ und $q$, wobei $p$ ein Primfaktor von $2^k-1$ und $q$ ein Primfaktor von $2^k+1$ ist. Das Prdukt $p\cdot q$ ist eine fermatsche Pseudoprimzahl.

1939

J.Chernik macht die Bemerkung, dass das Produkt $(6n+1)(12n+1)(18n+1)$ eine Carmichael-Zahl ist, wenn alle drei Faktoren Primzahlen sind.

1950

N.G.W.H. Beeger führt den Begriff der Carmichael-Zahl ein. Ein Jahr später findet Beeger einen Beweis für die Existenz von unendlich vielen geraden Pseudoprimzahlen.

1992

Die Mathematiker Alford, Granville und Pomerance finden einen Beweis für die Existenz von unendlich vielen Carmichael-Zahlen.