Mathe für Nicht-Freaks: Vereinigung und Durchschnitt von Vektorräumen

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Motivation

Wir kennen verschiedene Operationen, um aus gegebenen Mengen eine neue Menge zu konstruieren. Ist $(U_i{)}_{i\in I}$ eine Familie von Mengen, so können wir zum Beispiel den Durchschnitt $\bigcap _{i\in I}{U}_i$ oder die Vereinigung $\bigcup _{i\in I}{U}_i$ bilden. Angenommen, die $U_i$ sind außerdem Untervektorräume eines größeren Vektorraums $V$. Das heißt, die $U_i$ sind nichtleere Teilmengen von $V$, die abgeschlossen unter Addition und skalarer Multiplikation sind. Sind der Durchschnitt und die Vereinigung der $U_i$ dann ebenfalls Untervektorräume von $V$?

Durchschnitt von Untervektorräumen Vorlage:Anker

Ist der Schnitt von Unterräumen eines Vektorraums wieder ein Unterraum? Um diese Frage zu beantworten betrachten wir zunächst den Fall von zwei Unterräumen und schauen uns Beispiele im ${ℝ}^3$ an.

1. Betrachten wir zunächst die beiden Ebenen $U_1=\mathrm{span}\{(2,1,0{)}^T,(0,0,1{)}^T\}$ und $W=\mathrm{span}\{(0,2,0{)}^T,(0,0,-1{)}^T\}$ (die y-z-Ebene). Im Bild sehen wir, dass ihr Schnitt die z-Achse $\mathrm{span}\{(0,0,1{)}^T\}$, also ein Unterraum von ${ℝ}^3$ ist.
2. Das zweite Bild zeigt, dass der Schnitt der Geraden $U_2=\mathrm{span}\{(0,1,2{)}^T\}$ mit der y-z-Ebene $W$ ebenfalls eine Gerade ist, und zwar $U_2$.
3. Schneiden wir die y-z-Ebene $W$ stattdessen mit der Geraden $U_3=\mathrm{span}\{(1,1,1{)}^T\}$, so sehen wir, dass der Durchschnitt nur die Null enthält. Auch das ist ein Unterraum von ${ℝ}^3$.

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  Schnitt zweier Ebenen
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  Schnitt einer Ebene mit einer Geraden
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  Schnitt einer Ebene mit einer Geraden

In den Beispielen ist der Durchschnitt der beiden Unterräume also stets wieder ein Unterraum von ${ℝ}^3$. Wir zeigen jetzt, dass das auch für allgemeine Unterräume eines beliebigen Vektorraums gilt. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Wir haben gezeigt, dass der Schnitt von zwei Untervektorräumen wieder ein Untervektorraum ist. Im Beweis ist es aber an keiner Stelle relevant, dass es sich nur um zwei oder um endlich viele Unterräume handelt. In der Tat gilt die Aussage für beliebige Familien von Unterräumen.

Vereinigung von Untervektorräumen

Ist die Vereinigung von Unterräumen eines Vektorraums wieder ein Vektorraum? Betrachten wir zunächst ein Beispiel.

Wir sehen also, dass die Vereinigung von zwei Unterräumen im Allgemeinen kein Unterraum ist. Ist das immer der Fall?

Die Vereinigung von zwei Unterräumen ist also in manchen Fällen, aber nicht immer, ein Unterraum. Im Beispiel war $U$ in $W$ enthalten, sodass $U\cup W=W$ ein Unterraum war. Das funktioniert immer: Sind zwei Unterräume gegeben und ist einer davon im anderen enthalten, dann ist die Vereinigung gleich dem größeren der beiden, also wieder ein Unterraum.

Das ist der einzige Fall, in dem die Vereinigung von zwei Unterräumen wieder ein Unterraum ist, wie anhand des ersten Beispiels mit den Koordinatenachsen anschaulich klar wird: Gilt $U⊈W$ und $W⊈U$, dann wird die Vereinigung nicht abgeschlossen unter Addition sein. Denn es gibt dann zwei Vektoren $u,w$ mit $u\in U\setminus W$ und $w\in W\setminus U$. Die Summe $u+w$ enthält dann einen Anteil, der nicht in $U$ liegt, und kann deshalb nicht in $U$ liegen: Andernfalls wäre auch $w=u+w-u\in U$. Ebenso begründet man $u+w\notin W$.

Wir haben also folgendes Kriterium dafür, wann die Vereinigung von zwei Unterräumen ein Unterraum ist. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz Der Beweis des Satzes zeigt, dass die Eigenschaft, ein Unterraum zu sein, an der Addition scheitert. Die skalare Multiplikation auf $V$ war im Beweis nicht relevant. Tatsächlich ist $U\cup W$ stets unter skalarer Multiplikation abgeschlossen, selbst wenn sich bei der Vereinigung nicht um einen Untervektorraum handelt: Ist $\lambda \in K$ und $x\in U\cup W$, etwa $x\in U$, dann gilt $\lambda x\in U\subseteq U\cup W$, da $U$ als Unterraum abgeschlossen unter skalarer Multiplikation ist. Der Fall $x\in W$ ist analog.

Da $V$ ein Vektorraum und $U,W$ Unterräume sind, bildet $(V,+)$ eine Gruppe und $(U,+),(W,+)$ Untergruppen. Wir haben also effektiv gezeigt: $U\cup W$ ist genau dann eine Untergruppe von $V$, wenn $U\subseteq W$ oder $W\subseteq U$ gilt. Es gibt eine allgemeinere Aussage über (nicht notwendigerweise kommutative) Gruppen. Der Beweis ist ganz analog zu dem Beweis für Unterräume, den wir oben geführt haben.

Die Vereinigung von Unterräumen $U$ und $W$ ist zwar im Allgemeinen kein Unterraum. Man kann aber den kleinsten Unterraum definieren, welcher $U\cup W$ enthält. Dieser Unterraum ist die Summe $U+W$.

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